Exercícios Resolvidos de Covariância e Correlação para V.a. Multidimensionais

PUCRIO, Probabilidade e Estatísitica, P2 - 2014.2, Questão 1b)

b) Mostre que o coeficiente de correlação ρ ( X , Y ) é igual a 1 quando Y = a X + b e a > 0 .

Passo 1

A gente sabe que a fórmula do coeficiente de correlação é:

ρ X , Y = C o v X , Y V a r X . V a r Y

O que que a gente sabe mais?

C o v X , Y = E X Y - E X . E ( Y )

Substituindo Y = a X + b .

C o v X , Y = E X . a X + b - E X . E a X + b

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Abrindo isso...

= E a X 2 + b X - E X E a X + E b

Aplicando as propriedades da esperança...

= a E X 2 + b E X - a E X 2 - b E X

= a E X 2 - a E X 2

= a E X 2 - E X 2

Aí você tem que ter a maldade de enxergar que o que tá ali dentro é a variância, lembra?

= a . V a r ( X )

Passo 3

Agora vamos pensar no denominador...

V a r X . V a r Y = V a r X . V a r a X + b

Aplicando as propriedades da variância.

= V a r X . a ² V a r ( X )

= a 2 . V a r X 2

= a . V a r ( X )

Passo 4

Voltando e substituindo na fórmula do coeficiente de correlação, temos:

ρ X , Y = a . V a r X a . V a r X = 1

Pronto, provamos o que a gente queria...

Dica, pessoal adora repetir essa questão em prova, vale a pena garantir esses pontos.

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