Exercícios Resolvidos de Covariância e Correlação para V.a. Multidimensionais

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Enunciado

Sejam X e Y duas v.a.’s discretas cuja função de probabilidade conjunta é expressa por:

f x , y = 1 k 2 3 x 1 4 y ,   p a r a   x = 2 , 3 , 4 , …       e       y = 1 , 2

  1. Constante k para que para que f x , y seja uma função de probabilidade das variáveis aleatórias X e Y .
  2. Densidade condicional de Y dado X = x .
  3. Podemos afirmar que X e Y são independentes? Justifique sua resposta.

Determine a constante k para que f x , y seja uma função de probabilidade das variáveis aleatórias X e Y .

Passo 1

Vamos começar resolvendo a letra a) da questão. É importante tomarmos cuidado pois as contas decorrentes desta letra serão fundamentais para que consigamos resolver todo o resto da nossa questão!

Bom, para que a função f x , y seja uma função de probabilidade, a soma das probabilidades das distribuições marginais deve ser igual a 1. Isto é,

∑ p x = ∑ p y = 1

Confuso né? E então, o que precisamos fazer?

Vamos começar assumindo que a nossa f é uma função de probabilidade conjunta. Agora que assumimos isto, vamos montar uma tabela para descrever os valores de nossa f . Mas calma, até qual valor de x iremos montar a tabela? Porque pelo enunciado da questão eles variam de 2 até infinito.....

E aí??????? Bom, vamos montar até o valor 4, depois vocês irão perceber que é desnecessário continuar.

Portanto, temos a seguinte tabela:

Vocês conseguem perceber que a cada vez que a gente aumenta o valor de x o denominador fica maior? Consequentemente, o número final fica cada vez menor. É por causa disso que podemos parar por aqui no cálculo.

Passo 2

Agora que calculamos o valor da probabilidade de cada uma das combinações de x e y para valores de x e y variando entre 3 ,   4 e 5 , o que precisamos fazer agora? A resposta para esta pergunta é: precisamos determinar dois parâmetros que a questão nos deu: as distribuições marginais y , p y e x , p x .

A ideia por trás da distribuição marginal é simples. Lembra que estamos com uma distribuição conjunta p x , y ? Então, imagina aí: o que aconteceria se a gente fixasse um determinado x e variasse o y ? Se somarmos todas essas probabilidades, obteríamos uma probabilidade p x deste nosso evento x acontecer.

Pronto, esta é uma ideia resumida da distribuição marginal. Mas sim, o que importa é como calcular. E como fazemos isto? Aí já é mais fácil ainda! É só nós somarmos as linhas (colocando o resultado final na última coluna a direita) e somarmos as colunas (colocando o resultado final na última linha abaixo).

Por fim, é basicamente acrescentar uma linha e uma coluna a tabela dada na questão. Portanto, temos:

E agora? O que devemos fazer? Eu digo a vocês que a chave para resolvermos a questão continua na tabela. Em especial, na última linha e última coluna. Mais especial ainda naquele belo número 1.

Para que a nossa f x , y seja uma função de probabilidade, significa que a soma das probabilidades das distribuições marginais (aquela última linha e última coluna), tem que dar igual ao número 1.

Vamos utilizar a identidade acima para calcularmos o valor de k . Portanto,

∑ p x = 20 576 k + 40 1728 k + 80 5184 k = 3 80 5184 k = 1

∑ p y = 76 1296 k + 76 5184 k = 3 80 5184 k = 1

Então, basta descobrirmos qual o valor de k que satisfaz a seguinte relação:

380 5184 k = 1

k = 380 5184 ≈ 0,0 733

Portanto, o valor aproximado de k que torna f x , y uma função de probabilidade de variáveis X e Y é aproximadamente 0,0733 .

Passo 3

Agora precisamos calcular a densidade condicional de Y dado X = x . Portanto, precisamos aplicar a seguinte relação:

P Y X = x = P Y = y ,   X = x P X = x = P Y = y ,   X = x p x

Então, temos que revistar a nossa tabela:

Percebam que o valor de k não importa para este caso.

Agora, é só substituirmos os valores da tabela na nossa fórmula. Portanto, se calcularmos a densidade condicional P Y X = x para cada um dos casos, vamos obter:

P Y X = x = 0,8 ;                 s e   y = 2 0,2 ;                 s e   y = 3

Passo 4

Para finalizarmos a questão, precisamos responder ser os eventos X e Y são independentes. Vamos resolver esta questão pelo cálculo da covariância. Se C O V X , Y = 0 , então os eventos são independentes. Mas, para isto, teríamos de calcular uma série de parâmetros, o que não é o foco aqui!

Mas o que importa mesmo é como calcular a covariância? E aí? Como fazer?

Para isto, podemos aplicar a seguinte relação:

C O V X , Y = E X Y - E X E Y

Mas o que seriam estas funções E X , E Y e E X Y ? Elas são as esperanças (a mesma ideia de uma média). Para calcularmos as esperanças, podemos utilizar as seguintes relações:

E X = ∑ i = 1 n x i p x i

E Y = ∑ j = 1 m y j p y j

E X Y = ∑ j = 1 m ∑ i = 1 n x i y j p x i , y j

Conseguem ver o motivo de termos obtido as distribuições marginais? Para calcularmos E X e E Y precisamos das probabilidades p x e p y . Então, nós nos adiantamos no problema!

Relembrando, temos a seguinte função de probabilidade (já substituindo k = 0,0733 ).

Percebam que qualquer diferença nos valores se deve pela aproximação.

Agora, vamos calcular primeiramente as esperanças E X e E Y . Portanto,

E X = ∑ i = 1 n x i p x i = 2 ⋅ 0,4737 + 3 ⋅ 0,3196 + 4 ⋅ 0,2105 = 2,7482

E Y = ∑ j = 1 m y j p y j = 2 ⋅ 0,8038 + 3 ⋅ 0,2 = 2,2076

Simples. Para calcular E X , pegamos o valor de cada X e multiplicamos pelo seu p x respectivo e depois somamos todos os termos. E o mesmo ocorreu para E Y .

Agora, vamos calcular E X Y . É importante tomarmos cuidado pois temos um somatório dentro do somatório. A ideia é trabalhar do somatório de dentro para o de fora. Então, vamos começar a expandir estes somatórios:

E X Y = ∑ j = 1 m ∑ i = 1 n x i y j p x i , y j = ∑ j = 1 2 ∑ i = 1 3 x i y j p x i , y j

E X Y = ∑ j = 1 2 x 1 y j p x 1 , y j + x 2 y j p x 2 , y j + x 3 y j p x 3 , y j

E X Y = ∑ j = 1 2 2 ⋅ y j p 2 , y j + 3 ⋅ y j p 3 , y j + 4 ⋅ y j p 4 , y j

Agora, vamos analisar o valor de cada j separadamente (seria o respectivo a cada linha da nossa tabela). Para j = 1 , temos:

2 ⋅ y j p 2 , y j + 3 ⋅ y j p 3 , y j + 4 ⋅ y j p 4 , y j

2 ⋅ 2 ⋅ 0,3790 + 3 ⋅ 2 ⋅ 0,2564 + 4 ⋅ 2 ⋅ 0,1684

4,4016

Já para j = 2 , temos:

2 ⋅ y j p 2 , y j + 3 ⋅ y j p 3 , y j + 4 ⋅ y j p 4 , y j

2 ⋅ 3 ⋅ 0,0947 + 3 ⋅ 3 ⋅ 0,0632 + 4 ⋅ 3 ⋅ 0,0421

1,6422

Portanto, a esperança E X Y é:

E X Y = 4,4016 + 1,6422 = 6,0438

E agora podemos finalmente calcular a nossa covariância que é dada por:

C O V X , Y = E X Y - E X E Y

C O V X , Y = 6,0438 - 2,2076 ⋅ 2,7482

C O V X , Y = - 0,023

Bom, apesar da covariância diferenciar um pouco de zero, pode-se perceber que ela tende a zero. Isto ocorreu por causa dos valores utilizados, pois eles estavam arredondados. Portanto, no final, sabemos que C O V X , Y → 0 e os parâmetros são independentes.

Resposta

  1. k ≈ 0,0733 ;
  2. P Y X = x = 0,8 ;                 s e   y = 2 0,2 ;                 s e   y = 3
  3. As variáveis são independentes.

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