Exercícios Resolvidos de Curvas Parametrizadas e Curvas de Nível

USP, P1 2014, exercício 1

Considere a função f x , y = 2 y - 3 y 2 - x 2

  1. Represente geometricamente o domínio de f e faça um esboço da curva de nível C que passa pelo ponto ( 0,3 ) .
  2. Encontre um intervalo I e uma função γ : I R 2 contínua cuja imagem é C .

Passo 1

a)

Vamos então representar o domínio da função! Como deve saber, temos uma listinha de coisas que merecem atenção, e agora podemos ver dois casos, a princípio:

  1. O denominador da fração não pode valer 0
  2. O valor dentro da raiz que tá no denominador tem que ser > 0 (ser menor do que 0 não dá, por que é uma raiz, e 0 , até poderia ser, mas ela está no denominador!)
MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Juntando o que conseguimos no primeiro passo, teremos então:

y 2 - x 2 > 0

y - x . y + x > 0

Assim devemos ter, ou as duas parcelas dessa multiplicação sendo positivas, ou as duas parcelas dessa multiplicação sendo negativas.

y - x < 0         e         y + x < 0 y < x         e         y < - x

Ou

y - x > 0         e         y + x > 0 y > x         e         y > - x

Legal! Agora que temos a condição pra nossa função existir, vamos dar uma olhadinha no que isso quer dizer graficamente?

Passo 3

A primeira coisa que eu costumo fazer quando tenho uma desigualdade é trocar ela por um sinal de “igual” e ver do que estamos tratando. Veja, se fosse:

y = ± x

Essas são as duas retas que temos tanto na primeira quanto na segunda região;

Teríamos aquele par de retas que passam bem no meio do primeiro e terceiro quadrantes, e segundo e quarto quadrantes. Olha só, em vermelho a reta y = x e em azul a y = - x :

Agora vamos colocar o sinal de desigualdade!

Veja só, se temos que y < x e y < - x , isso quer dizer que, tanto para a reta y = - x quanto para a y = x , o que vale é a parte do plano abaixo de cada uma delas.

Veja só, se temos que y > x e y > - x , isso quer dizer que, tanto para a reta y = - x quanto para a y = x , o que vale é a parte do plano acima de cada uma delas.

Portanto, nosso domínio a região acima das retas e abaixo das retas (a parte roxa e a parte branca do gráfico):

Passo 4

Agora, vamos traçar a curva de nível do ponto 0,3 ? É só a gente substituir esse ponto na equação de f , ver qual é o valor do nível, depois analisar a curva sem substituir o ponto, mas substituindo o nível. Veja só:

f 0,3 = 2.3 - 3 3 2 - 0 2 = 1

Passo 5

Agora, colocamos f ( x , y ) como sendo o valor para o nível:

1 = 2 y - 3 y 2 - x 2

y 2 - x 2 = 2 y - 3

Desenvolvendo a equação, vamos elevar os dois lados ao quadrado. Mas aqui temos que observar o seguinte: o valor da raiz continua não podendo ser menor ou igual a 0 !

y 2 - x 2 = 4 y 2 - 12 y + 9

3 y 2 - 12 y + 9 + x 2 = 0

Completando o quadrado para o y , somando 3 de cada lado:

( 3 y 2 - 12 y + 9 + 3 ) + x 2 = 0 + 3

Reescrevendo o termo do quadrado do y :

3 y - 2 3 2 + x 2 = 3  

Veja que estamos cada vez mais próximos da equação de uma elipse! Vamos continuar... temos que passar o coeficiente do y pro denominador. Vai fica:

y - 2 1 3 2 + x 2 = 3  

E podemos tirar esse denominador do parêntesis elevando-o ao quadrado:

y - 2 2 1 3 + x 2 = 3  

E agora dividimos tudo por 3 , ficando:

y - 2 2 + x 2 3 = 1  

Ufa! Demorou mas saiu! Temos, enfim, a equação da curva de nível, que é uma elipse! Se não tiver muito bem lembrado, só comparar com a equação geral:

x - x 0 2 a 2 + y - y 0 2 b 2 = 1

Passo 6

Agora é só esboçar a curva! Como podemos ver:

y - 2 2 + x 2 3 = 1  

Ela está centrada em 0,2 , pois x 0 = 0   e y 0 = 2 .

Mas, lembrando que o nosso domínio é limitado pelas pelos semiplanos y > ± x , temos que verificar de que forma isso afeta no desenho da elipse! Então, vamos arbitrariamente substituir na equação dela, x = ± y (estamos fazendo assim pra evitar excesso de conta, já que só temos um x , que está ao quadrado)

y - 2 2 + x 2 3 = 1  

Com x = ± y (tanto faz, mais ou menos, está ao quadrado!), teremos:

y - 2 2 + y 2 3 = 1  

4 y 2 - 12 y + 9 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau,

y = 12 ± 12 2 - 4.4 . 9 2.4

y = 12 ± 0 8

y = 3 2

E o que esse valor significa? Ora, acabamos de encontrar o valor para a interseção entre a nossa elipse e as retas x = ± y , ou se preferir, y = ± x . Como temos que a função existe apenas para valores acima dessas retas, nossa elipse só existe para valores acima de y = 3 2 !

Passo 7

Agora estamos aptos a desenhar essa elipse! Já sabemos que ela não existe para valores menores que 3 2 . Então, vamos olhar para os denominadores de x 2 e y 2 . Como o denominador de x é 3 , então a medida do eixo maior é 3 . Como o denominador de y é 1 , então a medida do deixo menor é 1 ! E como ela está centrada em 0,2 , todos os pontos foram deslocados em 2 no sentido positivo do eixo y , logo, seu máximo que era em y = 1 , agora é em 3 .

E, enfim, aqui vai o desenho da elipse:

Veja que quando y está prestes a atingir o valor de 3 2 , a elipse já não existe mais.

Passo 8

b)

Esse enunciado é meio doido né? Deixa eu te explicar o que ele quer! Esse negócio de γ : I R 2 significa que queremos uma função em que damos um valor do intervalo I e recuperamos uma dupla de valores no plano.

Que tipo de função faz isso? Pega um valor e leva em dois valores do plano? A parametrização de uma curva faz isso!

Então na verdade ele quer a parametrização daquela elipse do passo anterior, essa será γ e o intervalo I são os valores que t pode assumir!

Vamos agora determinar uma parametrização para essa elipse?

Bom, na verdade não tem nada demais. É basicamente parametrizar uma elipse como outra qualquer e depois restringir o domínio do parâmetro!

Veja, se para uma elipse genérica   x - x 0 2 a 2 + y - y 0 2 b 2 = 1 teríamos a parametrização:

{ y t   =   y 0 + b   s i n   t   x t   =   x 0 + a   c o s   t    

Então para a nossa elipse y - 2 2 + x 2 3 = 1   teremos:

{ y t   =   2 + s i n   t x t   =   3   c o s   t      

E, como y > 3 2 , então,

2 + s i n   t   > 3 2

s i n   t   > - 1 2

t ] - π 6 , 7 π 6 [

Assim, nossa parametrização fica sendo:

γ t = ( 3   c o s   t ,   2 + s i n   t ) ,       t ] - π 6 , 7 π 6 [  

Resposta

  1. O domínio é a parte roxa e branca.

    Essa é a representação geométrica de C

  2. γ t = ( 3   c o s   t ,   2 +   s i n   t ) ,       t ] - π 6 , 7 π 6 [  

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas