Exercícios Resolvidos de Curvas Parametrizadas e Curvas de Nível

Curvas Parametrizadas, Derivadas Direcionais, Regra da Cadeia

A temperatura (em graus Celsius ) em uma placa de metal é dada por T x , y = 36 - 2 x 2 - 4 y ² , onde x e y são medidos em centímetros. Um objeto está no ponto P = ( 2,1 ) .

Determine as equações paramétricas da curva de nível de T (chamada isoterma) que passa pelo ponto P = ( 2,1 ) .

Passo 1

A curva de nível passa pelo ponto P = ( 2,1 ) . É uma isoterma porque nela todos os pontos têm a mesma temperatura. Então vamos descobrir essa temperatura calculando T ( 2,1 ) !

T 2,1 = 36 - 2.4 - 4.1 = 24

Portanto a curva de nível é

36 - 2 x 2 - 4 y 2 = 24

⇒   2 x 2 + 4 y ² = 12

Ajeitando um pouco:

2 x 2 12 + 4 y 2 12 = 1

x 2 6 + y 2 3 = 1

⇒ x 2 ± 6 2 + y 2 ± 3 2 = 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora dá pra ver bem que é uma elipse, com a equação típica

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

E a equação paramétrica de uma elipse é

x t = a . cos ⁡ t     e     y t = b . sen ⁡ t

No nosso caso temos a = ± 6 e b = ± 3 .

Como temos que escolher só uma parametrização para a curva, digamos

a = 6     e     b = 3

Assim, podemos fixar

x ( t ) = 6 cos ⁡ t     e     y ( t ) = 3 sen ⁡ t

Vamos até verificar que a equação inicial é respeitada:

2 x 2 + 4 y ² = 12

⇔   2.6 . cos 2 ⁡ t + 4.3 . sen 2 ⁡ t = 12

⇔ 12 cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t = 12

⇔ 12 = 12

Tudo ok! Então essa curva de nível é uma elipse de equações paramétricas

x t = 6 cos ⁡ t   y t = 3 sen ⁡ t

Resposta

x t = 6 cos ⁡ t   y t = 3 sen ⁡ t

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas

Muita matéria pra estudar?

Dexter Estudando

Cadastre-se para acessar os Resumões Gratuitos

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas