Exercícios Resolvidos de Curvas Parametrizadas e Curvas de Nível

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, p.78 - 9

Seja

z = f x , y = 24 - 6 x 2 - 2 y 2 3

a) Determine o domínio da função f e esboce seu gráfico.

b) Encontre a curva de nível C da função f que contém o ponto P = 6 2 , 3 2 2 .

c) Dê uma parametrização para a curva C do item b ) .

Passo 1

a)

A função é definida por uma raiz quadrada, ou seja: o termo dentro dela não pode ser negativo! Assim, a f é definida na região

24 - 6 x 2 - 2 y 2 3 ≥ 0

⇒ 24 - 6 x 2 - 2 y 2 ≥ 0

⇒ 6 x 2 + 2 y 2 ≤ 24

Dividindo tudo por 24:

x 2 4 + y 2 12 ≤ 1

⇔ x 2 2 2 + y 2 12 2 ≤ 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Portanto, o domínio da função é o interior da elipse dada pela equação

x 2 2 2 + y 2 12 2 = 1

É uma elipse centrada na origem e cujos semieixos valem 2 no eixo x , e 12 no eixo y .

Saca só a cara dela:

Passo 3

Tranquilo, achamos o domínio, mas agora precisamos esboçar o gráfico.

z = f x , y = 24 - 6 x 2 - 2 y 2 3

Vamos elevar isso ao quadrado (mas não podemos esquecer depois que z ≥ 0 ):

z 2 = 24 - 6 x 2 - 2 y 2 3

⇒ 3 z 2 = 24 - 6 x 2 - 2 y 2

⇒ 6 x 2 + 2 y 2 + 3 z 2 = 24

Isso tá com uma cara de elipsoide, de equação característica

x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1

Passo 4

Então vamos dividir tudo por 24, o que dá:

x 2 4 + y 2 12 + z 2 8 = 1

Realmente, isso é a equação de um elipsoide, com a = 2 ,   b = 12 e c = 8 .

Passo 5

Isso significa que se cortarmos o gráfico da função com planos paralelos aos planos coordenados vamos obter elipses.

No plano y z temos

x = 0 ⇒ y 2 12 + z 2 8 = 1 ,

que é a seguinte elipse:

Passo 6

No plano x z temos

y = 0 ⇒ x 2 4 + z 2 8 = 1 ,

que é a elipse:

Passo 7

Por fim, a interseção do gráfico com o plano x y é a elipse

x 2 4 + y 2 12 = 1

Passo 8

Portanto, o gráfico que precisamos esboçar é a metade de um elipsoide (lembra que z ≥ 0 ?) cujas interseções com os planos coordenados são essas elipses que a gente viu aí em cima.

Aqui está nosso gráfico!

Passo 9

b)

Primeiro vamos determinar qual é o nível da curva de nível a qual o ponto P = 6 2 , 3 2 2   pertence. Pra isso, vamos calcular o valor de f em P :

f P = 24 - 6 6 4 - 2 9 2 4 3

⇒ f P = 24 - 9 - 9 3 = 6 3 = 2

Beleza, então P pertence à curva de nível 2 de f .

Passo 10

Agora vamos identificar essa curva, igualando a expressão da função a 2 :

f x , y = 24 - 6 x 2 - 2 y 2 3 = 2

⇒ 24 - 6 x 2 - 2 y 2 3 = 2

⇒ 24 - 6 x 2 - 2 y 2 = 6

⇒ 6 x 2 + 2 y 2 = 18

E isso, como era de se esperar, é a equação de uma elipse (é uma curva de nível de um elipsoide)!

Podemos botá-la na forma padrão dividindo tudo por 18:

x 2 3 + y 2 9 = 1

⇒ x 2 3 2 + y 2 3 2 = 1

Essa é a nossa curva C !

Passo 11

c)

Vai que tá quase acabando! Agora só nos resta parametrizar essa elipse do item anterior. Tranquilo né?

Lembrando que tendo a equação de uma elipse na forma

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1

podemos parametrizá-la assim:

x = a cos ⁡ t y = b sen ⁡ t

Portanto, uma parametrização da curva C é:

x = 3 cos ⁡ t y = 3 sen ⁡ t

Pronto, só isso! :)

Resposta

a)

Domínio:

x , y ∈ R 2 |   x 2 4 + y 2 12 ≤ 1

Gráfico:

b)

A curva C é a elipse

6 x 2 + 2 y 2 = 18 ⇔ x 2 3 + y 2 9 = 1

c)

Uma parametrização de C é:

x = 3 cos ⁡ t y = 3 sen ⁡ t

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