Exercícios Resolvidos de Curvas Parametrizadas e Curvas de Nível

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Enunciado

Considere uma função f x , y = 5 x - 1 2 + 2 y - 1 2 x 2 + y 2 , definida em R 2 \ { ( 0,0 ) } . As curvas de nível 5 e 7 / 2 são, respectivamente:

a ) uma parábola e um par de retas concorrentes.

b ) uma parábola e uma hipérbole.

c ) um par de retas paralelas e uma elipse.

d ) uma hipérbole e uma parábola.

e ) um par de retas concorrentes e uma elipse.

Passo 1

Oiie, tudo bem contigo?

O enunciado nos dá uma função f ( x , y ) qualquer válida para todo o R 2 exceto a origem, e pede para analisarmos a forma das curvas de nível 5 e 7 / 2 . Mas o que é uma curva de nível 5 e 7 / 2 ? Primeiro, uma curva de nível é obtida tal que

f x , y = k

Em que o valor de k indica o seu nível. Nós queremos analisar quando tivermos k = 5 e k = 7 / 2 . Bora lá!

Passo 2

Usando o formato de f ( x , y ) e k = 5 , temos

f x , y = k → 5 x - 1 2 + 2 y - 1 2 x 2 + y 2 = 5

Agora é rodar a manivela algébrica e ver o que dá! Vamos multiplicar os dois lados por x 2 + y 2 , temos

5 x - 1 2 + 2 y - 1 2 = 5 x 2 + 5 y 2

Se expandirmos os quadrados, podemos obter

5 x 2 - 10 x - 5 + 2 y 2 - 4 y - 2 = 5 x 2 + 5 y 2

Juntando termos para simplificar a equação

y 2 - 4 y - 10 x - 7 = 0

Agora precisamos reescrever isso um pouquinho para podermos identificar o que ela é! Saca só!

Passo 3

Se completarmos o quadrado em y

y 2 - 4 y + 2 2 - 10 x - 11 = 0 → x = 11 10 - 1 10 y - 2 2

O que é uma parábola com concavidade para a esquerda! Vamos analisar a outra agora!

Passo 4

Usando o formato de f ( x , y ) e k = 7 / 2 , temos

f x , y = k → 5 x - 1 2 + 2 y - 1 2 x 2 + y 2 = 7 2

Agora é rodar a manivela algébrica e ver o que dá! Vamos multiplicar os dois lados por x 2 + y 2 , temos

5 x - 1 2 + 2 y - 1 2 = 7 2 x 2 + 7 2 y 2

Se expandirmos os quadrados, podemos obter

5 x 2 - 10 x - 5 + 2 y 2 - 4 y - 2 = 7 2 x 2 + 7 2 y 2

Juntando termos para simplificar a equação

3 2 x 2 - 3 2 y 2 - 4 y - 10 x - 7 = 0 → x 2 - y 2 - 8 3 y - 20 3 x - 14 3 = 0

Da mesma forma que anteriormente precisamos reescrever um pouco esta expressão! Vem comigo!

Passo 5

Se completarmos o quadrado em y e em x

x 2 - 20 3 x + 10 3 2 + y 2 - 8 3 y + 4 3 2 - 7 - 10 3 2 - 4 3 2 = 0 → x - 10 3 2 - y - 4 3 2 = 179 9

O que é a equação de uma hipérbole! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchauzinho!

Resposta

c ) Uma parábola e uma hipérbole

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Encontrar uma equação vetorial das seguintes curvas:m) x 2 + y 2 = 1 ,z = 2 x - 2 y
Encontrar uma equação vetorial das seguintes curvas:d) y = x 1 2 ,z = 2