Exercícios Resolvidos de Curvas Parametrizadas e Curvas de Nível

USP, P1 2010, exercício 1a

Sejam γ t = 2 - cos ⁡ t , sec 2 ⁡ t + 3 ,   t ∈ 0 , π 2   e f x , y = x - 2 2 y - 3 3 2 + 1 . Esboce a imagem de γ e mostre que ela está contida em uma curva de nível de f , indicando qual é o nível.

Passo 1

Vamos pelo mais simples, mostrar que γ é curva de nível de f x , y , beleza? Se isso for verdade, então para qualquer t , devemos ter que f γ t = c o n s t a n t e .

Partiu substituir γ em f x , y !

f x , y = x - 2 2 y - 3 3 2 + 1

f γ t = 2 - cos ⁡ t - 2 2 sec 2 ⁡ t + 3 - 3 3 2 + 1

f γ t = - cos ⁡ t 2 . sec 2 ⁡ t 3 2 + 1

Como a secante é o inverso do cosseno, então cos ⁡ t . sec ⁡ t = 1 , e

f γ t = 1 + 1 = 2

Ou seja, a curva é de nível 2 ! Show, apenas isso!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos agora esboçar essa curva. Sua equação é:

γ t = 2 - cos ⁡ t , sec 2 ⁡ t + 3

No plano O x y , temos, portanto:

x = 2 - cos ⁡ t y = sec 2 ⁡ t + 3

Levando em conta, novamente, que sec ⁡ t = 1 cos ⁡ t , então sec 2 ⁡ t = 1 cos 2 ⁡ t , e

y = 1 2 - x 2 + 3  

Para esboçar essa curva, agora, devemos perceber algumas características dela, como:

  • Quando x = 2 , o y parte pra infinito, ou seja, temos uma assíntota vertical em x = 2
  • Como 1 x - 2 2   é sempre positivo, então y é sempre positivo
  • Como quando x → ∞ ou x → - ∞ , 1 2 - x 2 tende a 0 , então o menor valor que y assume é 3

Com isso, podemos ter uma ideia da curva, que parte pra infinito nos dois lados da reta x = 2 e decai para 3 quando x vai para mais ou menos infinito:

Resposta

A curva γ t tem nível 2 e seu esboço é:

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