Exercícios Resolvidos de Curvas Parametrizadas e Curvas de Nível

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Enunciado

Suponha que a imagem da curva γ t = t ,   y t está contida na curva de nível 3 da função f x ,   y = x 2 + 4 y + 5 x + 1 , em que x ,   y ∈ R 2 . Então, a reta tangente a γ em γ 1 é

a) 7 x + 4 y = 3 .

b) 6 x + 4 y = 2 .

c) 8 x + 4 y = 4 .

d) 6 x + 5 y = 2 .

e) 6 x + 5 y = 3 .

Passo 1

Fala pessoal, beleza? Preparados para mais uma questão?

O enunciado diz que a curva γ t = t ,   y t está contida na curva de nível 3 da função f x ,   y = x 2 + 4 y + 5 x + 1 . Queremos saber qual a reta tangente à curva γ no ponto γ 1 . Para isso, lembre que o vetor tangente à curva é

γ ' t = x ' t ,   y ' t

Nesse caso, como x t = t , temos que

γ ' t = 1 ,   y ' t

Esse vetor é o vetor diretor da reta tangente:

X = γ 1 + λ   γ ' 1

O ponto γ 1 é um ponto da reta e γ ' 1 é vetor diretor! λ é o parâmetro da equação vetorial.

Passo 2

Legal, mas como fazer tudo isso? Temos que achar γ 1 e γ ' 1 ! Para isso, usamos a principal informação do enunciado: a imagem da curva γ t = t ,   y t está contida na curva de nível 3 da função f x ,   y = x 2 + 4 y + 5 x + 1 .

Assim, se compusermos f com γ , devemos obter 3, pois para todos os pontos da curva o valor de f é 3 :

f γ t = 3

Assim,

f t ,   y t = 3

Trocando x = t e y = y t na equação de f :

t 2 + 4 y t + 5 t + 1 = 3

Assim,

y t = 2 4 - 5 t 4 - t 2 4

Fazendo t = 1 :

y 1 = 2 4 - 5 4 - 1 4 = - 1

Assim, como γ t = y ,   y t :

γ 1 = 1 ,   - 1

Passo 3

Derivando y ( t ) :

y ' t = - 5 4 - 2 t 4

Fazendo t = 1 :

y ' 1 = - 5 4 - 2 4 = - 7 4

Assim, como γ ' t = 1 ,   y ' t :

γ ' 1 = 1 ,   - 7 4

Passo 4

Agora que temos γ 1 = 1 ,   - 1 e γ ' 1 = 1 ,   - 7 4 , vamos para a equação da reta:

X = γ 1 + λ   γ ' 1

Logo, como X = ( x ,   y ) :

( x ,   y ) = 1 ,   - 1 + λ   1 ,   - 7 4

Assim,

x = 1 + λ y = - 1 - 7 λ 4

Isolando λ na primeira equação:

λ = x - 1

Substituindo na segunda:

y = - 1 4 4 + 7 x - 1

- 4 y = 4 + 7 x - 7

Assim, a equação da reta é

7 x + 4 y = 3

Vemos que a resposta está na alternativa A 😊

Resposta

Alternativa A.

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Determinar o centro e o raio das seguintes circunferências e depois escrever uma equação vetorial para cada uma.c) x 2 + y 2 + 5 y - 2 = 0
Determinar uma representação paramétrica da reta representada por:b) 2 x - 5 y + 4 z = 1 ,3 x - 2 y - 5 z = 1
Encontrar uma equação vetorial das seguintes curvas:f) y = x ,z = x 2 + y 2
Encontrar uma equação vetorial das seguintes curvas:m) x 2 + y 2 = 1 ,z = 2 x - 2 y
Encontrar uma equação vetorial das seguintes curvas:d) y = x 1 2 ,z = 2