Exercícios Resolvidos de Deformações Inelásticas e Tensões Residuais

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Enunciado

Uma barra de aço uniforme de seção transversal com área A é ligada a suportes rígidos e está livre de tensões a uma temperatura de 7,22   ° C . O aço é considerado elastoplástico com σ E = 248   M P a e E = 200   G P a . Sabendo que α = 11,7 * 10 - 6 / ° C , determine a tensão na barra ( a ) quando a temperatura for elevada a 160 ° C e ( b ) depois que a temperatura retorna a 7,22 ° C .

Passo 1

A barra tem uma área de seção transversal A e um comprimento L .

A uma temperatura inicial T = 7,22   ° C , a barra está livre de tensões.

E ela é feita de um aço elastoplástico com resistência ao escoamento σ E = 248   M P a , módulo de elasticidade E = 200   G P a e coeficiente de dilatação térmica α = 11,7 * 10 - 6 / ° C .

Beleza, e o que é que está acontecendo?

No item ( a ) a temperatura na barra é elevada até uma temperatura final T ' = 160 ° C , sofrendo então uma variação de temperatura:

Δ T = T ' - T = 160 ° C - ( 7,22 ° C )

Δ T = 152,78 ° C

Por causa dessa variação de temperatura, a barra vai sofrer uma deformação térmica ε T :

ε T = α * Δ T

(Como o comprimento L da nossa barra é desconhecido, é mais prático trabalhar com ε T do que trabalhar com a dilatação térmica δ T = α * Δ T * L .)

Agora, essa barra é ligada a suportes rígidos dos dois lados que não permitem com que a barra se deforme livremente.

Esses suportes rígidos requerem que a deformação total da barra seja igual à zero:

ε T O T A L = 0

Para fazer com que isso aconteça, eles realizam forças de reação R na barra:

Essas forças compressivas geram na barra:

  • Uma força interna normal N = - R ;
  • Uma tensão normal média σ = N / A ;
  • E, de acordo com a Lei de Hooke ( σ = E ε ), uma ε = σ / E .

Daí que pelo princípio da superposição, a deformação total ε T O T A L = 0 na barra vai ser a soma da deformação térmica ε T com a deformação ε causada pelas forças R :

ε T O T A L = ε T + ε

Daí que podemos usar essa fórmula acima para encontrar qual vai ser o valor da tensão normal média σ que vai surgir na nossa barra.

Mas calma aí...

O nosso material é elastoplástico. Então a tensão máxima que pode ser alcançada nele é a tensão de escoamento σ E = 248   M P a .

Daí que se encontrarmos que a tensão normal média σ que deveria surgir na nossa barra é maior que 248   M P a , na realidade o que vai acontecer é que:

1. A tensão que vai surgir vai ser a tensão máxima σ E = 248   M P a ;

2. O material vai começar a escoar/a se deformar plasticamente;

E assim, 3. A deformação ε causada pelas forças R vai passar a ser a soma:

  • De uma deformação elástica ε E (correspondente à tensão máxima σ E = 248   M P a de acordo com a Lei de Hooke);
  • Com uma deformação plástica ε p .

Dessa forma, a variação de comprimento total vai ser escrita assim:

ε T O T A L = ε T + ε E + ε P

E o que é que o exercício quer?

No item ( a ) , ele quer saber qual vai ser a tensão σ gerada na barra.

Devemos calcular essa tensão usando a relação ε T O T A L = ε T + ε .

Mas se o valor final encontrado for maior que σ E = 248   M P a , a tensão gerada vai ser σ = σ E = 248   M P a .

E nesse caso, vamos poder calcular também a deformação plástica ε P sofrida pela barra.

O que é interessante porque...

No item ( b ) , ele quer saber qual vai ser a tensão σ na barra quando a temperatura voltar para T = 7,22 ° C .

A princípio, essa tensão seria nula. Mas se o material tiver sofrido uma deformação plástica ε P , essa deformação vai ter sido permanente.

Dessa forma, os suportes rígidos da barra vão ter que realizar forças R na barra para gerar nela:

  • Uma tensão normal σ ;
  • E, de acordo com a Lei de Hooke, uma deformação ε = σ / E .
  • Essa deformação ε = σ / E , superposta com a deformação permanente ε P , vai conseguir garantir com que a deformação total da barra continue nula:

    ε T O T A L = 0 = ε P + ε

    Passo 2

    É muita coisa, mas vamos lá, a gente consegue! 👊

    Primeiro, vamos calcular a tensão σ na barra quando a temperatura é elevada usando a relação:

    ε T O T A L = ε T + ε

    Substituindo:

    • ε T O T A L = 0 ;
    • ε T = α * Δ T ;
    • & ε = σ / E ,

    Isso fica assim:

    0 = α * Δ T + σ E

    Isolando σ , encontramos:

    σ = - α * Δ T * E

    Finalmente, substituindo os valores...

    • α = 11,7 * 10 - 6 / ° C ;
    • Δ T = 152,78 ° C ;
    • & E = 200   G P a = 200000   M P a ,

    ...encontramos que:

    σ = - 357,5   M P a

    Mas esse valor é impossível pois ele ultrapassa a intensidade da tensão de escoamento σ E = 248   M P a .

    Então temos que a nossa resposta para o item ( a ) , a tensão σ que vai ser efetivamente gerada na barra vai ser:

    σ r e a l = - 248   M P a

    Passo 3

    Em seguida, vamos definir a deformação plástica sofrida pela barra.

    Para tanto, aplicamos a relação:

    ε T O T A L = ε T + ε E + ε P

    Substituindo:

    • O valor da variação de comprimento total ε T O T A L , que deve ser igual à 0 ;
    • A fórmula da deformação térmica ε T = α * Δ T ;
    • & a deformação elástica ε E = σ r e a l / E de acordo com a Lei de Hooke, tendo em mente que a tensão efetivamente gerada na barra é σ r e a l ,

    A relação acima fica assim:

    0 = α * Δ T + σ r e a l E + ε P

    Isolando a deformação plástica ε P , temos:

    ε P = - α * Δ T - σ r e a l E

    Não precisamos calcular a deformação plástica em si, então vamos só guardar essa expressão.

    Passo 4

    Agora, na situação do item ( b ) , vamos ter deformação plástica ε P , que por ser permanente, permaneceu mesmo após a volta da temperatura para T = 7,22 ° C .

    Por causa disso, os suportes rígidos da barra vão ter que realizar forças R na barra para gerar nela:

  • Uma tensão normal σ ;
  • E, de acordo com a Lei de Hooke, uma deformação ε = σ / E .

Dessa forma, a deformação total na barra vai ser:

ε T O T A L = ε P + ε

Substituindo:

  • ε T O T A L = 0 ;
  • A expressão encontrada para ε P ;
  • & ε = σ / E ,

Isso fica assim:

0 = - α * Δ T - σ r e a l E + σ E

Queremos encontrar a tensão σ nessa nova situação, então devemos isolá-la:

σ = - - α * Δ T - σ r e a l E E

Simplificando tudo, isso fica assim:

σ = α * Δ T * E + σ r e a l

Por fim, substituindo os valores...

  • α = 11,7 * 10 - 6 / ° C ;
  • Δ T = 152,78 ° C ;
  • E = 200   G P a = 200000   M P a ;
  • & σ r e a l = - 248   M P a ,

...encontramos que:

σ = 109,5   M P a

Que é a nossa resposta do item ( b ) !

Resposta

a - 248   M P a

&

b   109,5   M P a

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