Enunciado

A barra A B C consiste em duas partes cilíndricas A B e B C ; ela é feita de um aço doce considerado elastoplástico com E = 200   G P a e σ E = 250   M P a . Uma força P é aplicada à barra e em seguida removida para dar a ela uma deformação permanente δ P = 2   m m . Determine o valor máximo da força P e o valor máximo de δ m pelo qual a barra deverá ser alongada para dar a ela a deformação permanente desejada.

Passo 1

O que está acontecendo?

A barra A B C é feita de dois segmentos:

  • Um segmento A B de diâmetro d A B = 30   m m e comprimento L A B = 0,8   m ;
  • E outro B C de diâmetro d B C = 40   m m e comprimento L B C = 1,2   m .

Além disso, ela possui um comportamento considerado elastoplástico com módulo de elasticidade E = 200   G P a e tensão de escoamento σ E = 250   M P a .

O que isso significa é que quando a tensão σ E = 250   M P a é atingida na barra, ela não é capaz de resistir qualquer tensão maior e passa a se deformar plasticamente/permanentemente.

No caso da nossa barra, a tensão σ E = 250   M P a vai ser atingida primeiro no trecho A B , que possui um diâmetro menor, e, consequentemente, uma área de seção transversal A menor.

Isso significa que a variação de comprimento δ A B nesse trecho vai ser a soma:

  • De uma variação de comprimento elástica δ E A B até que a tensão de escoamento σ E fosse atingida;
  • Com uma deformação plástica/permanente δ P A B que ocorre depois que a tensão de escoamento foi atingida.

Ou seja:

δ A B = δ E A B + δ P A B

Já a variação de comprimento sofrida pelo trecho B C vai ser puramente elástica, uma vez que a tensão de escoamento σ E = 250   M P a nunca vai ser atingida nesse trecho.

(O trecho A B vai começar a se deformar livremente impedindo o aumento da carga P e das tensões σ em toda a peça assim que a tensão nele alcançar σ E = 250   M P a .)

Então vamos ter que:

δ B C = δ E B C

Então como o segmento B C não sofre deformação permanente, podemos dizer que toda a deformação permanente δ P = 2   m m sofrida pela barra foi sofrida pelo segmento A B .

Ou seja:

δ P A B = 2   m m

E o que é que o exercício quer?

Primeiro, ele quer saber o valor máximo da força P que foi aplicada nessa barra para que ela sofresse essa deformação plástica.

Como é o trecho A B que sofre a deformação plástica, o valor máximo de P vai ser o valor para o qual a tensão normal média σ = N / A no trecho A B é igual à tensão de escoamento σ E :

σ A B = σ E

(Isso porque quando essa condição é atingida, a barra passa a se deformar livremente, impedindo que a força P seja aumentada.)

Depois, ele quer saber a variação de comprimento máxima δ m que foi sofrida pela barra para que ela tivesse a deformação permanente δ P A B = 2   m m no trecho A B .

Aqui, podemos perceber que a variação de comprimento máxima δ m da barra vai ser a soma das variações de comprimento de cada segmento:

δ m = δ A B + δ B C

Substituindo as expressões que encontramos para δ A B e δ B C , temos que:

δ m = δ E A B + δ P A B + δ E B C

Nessa expressão, sabemos que δ P A B = 2   m m e que uma variação de comprimento δ pode ser calculada pela fórmula δ = N L / E A se ela for elástica.

Passo 2

Então para encontrar a força P máxima na barra, vamos aplicar a condição de que ela acontece quando:

σ A B = σ E

Aplicando a fórmula da tensão normal média σ = N / A para o trecho A B , temos que:

N A B A A B = σ E

Como o único carregamento na barra é a tração P , a força interna normal N vai ser igual à P , tanto no trecho A B quanto no trecho B C .

Além disso, o trecho A B possui uma seção transversal circular de diâmetro d A B .

Então a área A A B dessa seção transversal pode ser calculada usando a fórmula A = π d 2 / 4 .

Aplicando tudo isso, a nossa expressão anterior fica assim:

( P ) π d 2 4 = σ E

Queremos encontrar a força máxima P , então devemos isolá-la:

P = σ E π d 2 4

Finalmente, substituindo os valores:

  • σ E = 250   M P a = 250   N / m m 2 ;
  • & d = 30   m m ,

Encontramos que:

P = 176715   N

Como esse número é um pouco grande, podemos reescrevê-lo em k N na hora de darmos a nossa resposta para a primeira parte do exercício:

P = 176,7   k N

Passo 3

Agora, na segunda parte do exercício, queremos encontrar a variação de comprimento máxima δ m que foi sofrida pela barra.

Como vimos no Passo 1, essa variação δ m vai ser a soma:

  • Das variações de comprimento elástica δ E dos segmentos A B e B C ;
  • Com a variação de comprimento permanente/plástica δ P que foi sofrida pelo segmento A B .

Ou seja:

δ m = δ E A B + δ P A B + δ E B C

Nessa expressão, podemos desenvolver as variações elásticas δ E usando a fórmula δ = N L / E A .

Aplicando essa fórmula para δ E A B e para δ E B C , vamos ter que:

δ m = N A B L A B E A A B + δ P A B + N B C L B C E A B C

Mais uma vez, como o único carregamento na barra é a tração P , a força interna normal N vai ser igual à P , tanto no trecho A B quanto no trecho B C .

Além disso, como as áreas A A B e A B C são circulares, elas podem ser fornecidas em função de seus diâmetros d A B e d B C usando a fórmula A = π d 2 / 4 .

Aplicando tudo isso, a expressão anterior fica assim:

δ m = P L A B E π d A B 2 4 + δ P A B + P L B C E π d B C 2 4

Arrumando tudo, temos:

δ m = 4 P L A B E π d A B 2 + δ P A B + 4 P L B C E π d B C 2

Colocando 4 P / E π em evidência, temos:

δ m = 4 P E π L A B d A B 2 + L B C d B C 2 + δ P A B

Finalmente, substituindo os valores:

  • P = 176,7   k N ;
  • E = 200   G P a = 200   k N / m m 2 ;
  • L A B = 0,8   m = 800   m m e L B C = 1,2   m = 1200   m m ;
  • d A B = 30   m m e d B C = 40   m m ;
  • & δ P A B = 2   m m ,

Encontramos que:

δ m = 3,84   m m

Que é a nossa resposta para a segunda e última parte o exercício!

Resposta

P = 176,7   k N

&

δ m = 3,84   m m

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