Exercícios Resolvidos de Deformações Inelásticas e Tensões Residuais

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Enunciado

A barra tem área de seção transversal de 625   m m 2 . Se uma força P = 225   k N for aplicada em B e, então, removida, determine a tensão residual nas seções A B e B C .

Dados: σ e = 210   M P a .

Passo 1

O que está acontecendo?

A barra tem uma área de seção transversal A = 625   m m 2 e é feita de um material com um limite de resistência ao escoamento σ e = 210   M P a .

Ela é dividida nos trechos A B , de comprimento L A B = 3 / 4 L , e B C , de comprimento L B C = 1 / 4 L por uma força P = 225   k N .

E ela é apoiada por forças de reação R A e R C nos apoios em A e em C , como mostra o seu diagrama de corpo livre:

Como esses apoios em A e em C são fixos, eles garantem que a variação de comprimento total δ T O T A L na barra seja sempre igual à zero:

δ T O T A L = 0

E o que é que o exercício quer?

Ele quer saber a tensão residual nas seções A B e B C da barra quando a força P é retirada.

Para que essa tensão residual exista, é necessário que o carregamento original da barra tenha gerado nela alguma variação de comprimento plástica/permanente δ p .

Então vamos:

1. Analisar a barra em sua situação inicial para descobrirmos se vai haver alguma variação de comprimento permanente δ p nela.

Para tanto, devemos:

  • Considerar que não vai haver deformação plástica;
  • E calcular as tensões nos trechos A B e B C da barra, verificando se elas vão ultrapassar ou não a resistência ao escoamento σ e = 210   M P a .

Se a tensão em um trecho ultrapassar σ e , então vai haver deformação plástica.

Nesse caso, vamos ter que:

2. Adicionar a deformação plástica à nossa análise e definir δ p .

E, por último, vamos:

3. Analisar a barra em sua situação final para descobrirmos qual é a tensão residual correspondente à variação de comprimento plástica δ P gerada.

Passo 2

Então vamos começar avaliando a barra considerando que não vai haver deformação plástica.

Primeiro, observando o diagrama de corpo livre da barra...

...e aplicando o equilíbrio de forças na vertical:

∑ F V = 0

...encontramos que:

R A + R C = P

R A = P - R C

Em seguida, fazendo uma análise dos esforços internos na barra, vamos ter que:

Para as seções entre A e B ...

...o equilíbrio de forças requer que:

N A B = R A

Mas como R A = P - R C , isso significa que:

N A B = P - R C

Já para as seções entre B e C ...

...o equilíbrio de forças requer que:

N B C = - R C

Por fim, a última análise que podemos fazer é encontrar uma equação de compatibilidade para a barra.

Por um lado, temos que a variação de comprimento total da barra deve ser igual à zero por causa dos apoios fixos:

δ T O T A L = 0

Do outro, temos que a variação de comprimento total da barra é a soma das variações de comprimento dos trechos A B e B C .

Dessa forma, temos que:

δ A B + δ B C = 0

Agora, como estamos considerando que não vai haver deformação plástica, podemos dizer que essas variações de comprimento δ A B e δ B C podem ser dadas pela fórmula:

δ = N L E A

Aplicando essa fórmula para δ A B e δ B C , a nossa equação de compatibilidade fica assim:

N A B L A B E A + N B C L B C E A = 0

Multiplicando tudo por E A , temos que:

N A B L A B + N B C L B C = 0

Em seguida, substituindo...

  • Os comprimentos L A B = 3 / 4 L e L B C = 1 / 4 L ;
  • & as forças normais N A B = P - R C e N B C = - R C ,

...temos que:

P - R C 3 4 L + - R C 1 4 L = 0

Multiplicando tudo por 4 / L , isso fica assim:

P - R C 3 + - R C 1 = 0

Fazendo as multiplicações, temos que:

3 P - 3 R C - R C = 0

3 P - 4 R C = 0

E, finalmente, isolando R C , encontramos que:

R C = 3 P 4

E como P = 225   k N , isso significa que:

R C = 3 225   k N 4 = 168,75   k N

Passo 3

Já analisamos toda a barra considerando que não vai haver deformação plástica.

Então agora podemos calcular quais seriam as tensões σ nos trechos A B e B C nesse caso.

Aplicando a fórmula da tensão normal média σ = N / A para o trecho A B , temos:

σ A B = N A B A

Substituindo N A B = P - R C , isso fica assim:

σ A B = P - R C A

Em seguida, substituindo...

  • P = 225   k N ;
  • R C = 168,75   k N ;
  • & A = 625   m m 2 ,

...e prestando atenção nas unidades, encontramos que:

σ A B = 90   M P a

O que é menor que a tensão de escoamento σ e = 210   M P a .

Ou seja, o trecho A B da barra não vai sofrer deformação plástica.

Já aplicando a fórmula da tensão normal média para o trecho B C , temos:

σ B C = N B C A

Substituindo N B C = - R C , temos:

σ B C = - R C A

E em seguida, substituindo R C = 168,75   k N e A = 625   m m 2 , encontramos que:

σ B C = - 270   M P a

Vemos que a intensidade de σ B C é maior que a tensão de escoamento σ e = 210   M P a .

Então o trecho B C vai sofrer deformação plástica e a tensão que vai ocorrer efetivamente nele vai ser σ B C = - 210   M P a .

Isso significa que a força R C também não vai chegar a ser igual à 168,75   k N .

Pegando a expressão:

σ B C = - R C A

Isolando R C :

R C = - A σ B C

E substituindo σ B C = - 210   M P a e A = 625   m m 2 , encontramos que efetivamente, o valor de R C vai ser:

R C = 131,25   k N

Dica: Na hora da prova, destaque esses novos valores com uma caixa “novos valores” ou algo parecido. Assim você não se esquece deles!

Passo 4

Agora que sabemos que o trecho B C vai sofrer deformação plástica, podemos adicionar essa informação à nossa análise.

A equação de compatibilidade que antes era assim...

δ A B + δ B C = 0

...agora vai levar em consideração que:

  • A variação de comprimento do trecho A B só tem uma parcela elástica δ e A B ;
  • E que a variação de comprimento de B C tem uma parcela elástica δ e B C e uma parcela plástica ( δ p ) B C .

Dessa forma, a equação de compatibilidade vai ficar assim:

δ e A B + δ e B C + ( δ p ) B C = 0

Aqui, como as variações de comprimento δ e A B e δ e B C são elásticas, podemos aplicar a fórmula δ = N L / E A para elas:

δ e A B = N A B L A B E A

&

δ e B C = N B C L B C E A

Substituindo essas expressões, a equação de compatibilidade fica assim:

N A B L A B E A + N B C L B C E A + ( δ p ) B C = 0

Isolando ( δ p ) B C , temos:

( δ p ) B C = - N A B L A B E A - N B C L B C E A

Substituindo N A B = P - R C , N B C = - R C , L A B = 3 / 4 L e L B C = 1 / 4 L isso fica assim:

( δ p ) B C = - P - R C 3 4 L E A - - R C 1 4 L E A

Colocando - L / 4 E A em evidência, temos:

( δ p ) B C = - L 4 E A P - R C 3 + - R C

E, finalmente, simplificando, isso fica assim:

( δ p ) B C = - L 4 E A ( 3 P - 4 R C )

Não precisamos realmente calcular ( δ p ) B C , então vamos só guardar essa expressão para depois.

Passo 5

Agora que já sabemos que a peça vai sofrer uma deformação plástica ( δ p ) B C , podemos ver que tensão residual essa deformação plástica vai gerar depois que a força P for retirada.

Quando a força P for retirada, o diagrama de corpo livre da barra vai ficar assim:

Essas reações R só existem para compensar a deformação plástica ( δ p ) B C e garantir que a variação de comprimento total δ T O T A L na barra seja igual à zero.

Elas fazem isso gerando, ao longo de toda a barra:

  • Uma força interna normal N = R , e, consequentemente, uma tensão normal média σ = N / A ;
  • E uma variação de comprimento δ = N L / E A = σ L / E .

Superpondo a variação de comprimento plástica ( δ p ) B C com essa variação de comprimento δ causada pelas reações R , temos a variação de comprimento total:

δ T O T A L = ( δ p ) B C + δ

Impondo a condição δ T O T A L = 0 , isso significa que:

δ = - ( δ p ) B C

Substituindo δ = σ L / E e a expressão encontrada no passo anterior para ( δ p ) B C , temos:

σ L E = L 4 E A ( 3 P - 4 R C )

Cortando L com L e E com E , encontramos a tensão residual σ que vai aparecer ao longo de toda a barra por causa da deformação plástica ocorrida:

σ = 1 4 A ( 3 P - 4 R C )

Finalmente, substituindo...

  • P = 225   k N ;
  • O novo valor encontrado para R C no Passo 3, R C = 131,25   k N ;
  • & A = 625   m m 2 ,

...encontramos que a tensão residual ao longo de toda a barra (ou seja, tanto no trecho A B quando no trecho B C ) vai ser:

σ = 0,06   k N / m m 2 = 0,06   G P a

Como esse número é muito pequeno, podemos reescrevê-lo em M P a na hora de fornecermos a nossa resposta:

Resposta

σ r e s = 60   M P a

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