Exercícios Resolvidos de Derivada de Funções Hiperbólicas

UFF, Cálculo IA, Listas GMA - Lista 17, Questão 1

Se s e n h   x =   - 1 4 calcule

A) cosh x

B) t a n h   x  

C) sinh x

Passo 1

Encontrando o valor de x

Vamos lá: a gente tem o valor do seno hiperbólico e quer saber o valor das outras funções hiperbólicas. Beleza, como não da pra fazer arco cosseno hiperbólico, vamos tentar achar x pela definição:

sinh x = e x - e - x 2

Então vamos ter:

e x - e - x 2 =   - 1 4

e x - e - x =   - 1 2

e x - e - x + 1 2 = 0

e - x e 2 x - 1 + 1 2 e x = 0

Como e - x = 0 é impossível, não temos opção se não fazer:

e 2 x + 1 2 e x   - 1 = 0

Pra tirar a fração, vamos multiplicar dos dois lados por 2 :

2 e 2 x + e x   - 2 = 0

Agora talvez fique mais tranquilo de ver o próximo passo. Que tal tentarmos a substituição y = e x ? Vamos lá:

2 y 2 + y   - 2 = 0

Opa, maravilha, agora tem uma cara mais amigável essa equação não é mesmo? Vamos resolver então por Bhaskara:

y = - 1 ± 1 2 - 4.2 . - 2 2.2

y = - 1 ± 17 4

y = - 1 - 17 4   e   y = - 1 + 17 4

E voltando pra variável original:

e x = - 1 - 17 4   e   e x = - 1 + 17 4

Mas fica atento! Uma dessas raízes é impossível de acontecer! No caso vai ser a primeiro porque nenhum valor de x faria e x ser negativo! Então a gente descarta e usa só a outra raiz, tranquilo:

e x = - 1 + 17 4

x = ln - 1 + 17 4 - 0,25

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

(a) Usar o valor de x obtido para encontrar c o s h   x

Já que começamos falando da definição de seno hiperbólico, porque não lembrar a definição do cosseno hiperbólico?

cosh x = e x + e - x 2

Beleza, mas como o seno era:

sinh x = e x - e - x 2

Somando as duas equações vou ter:

sinh x + cosh x =     e x + e - x 2 + e x - e - x 2

sinh x + cosh x =     e x

cosh x   =     e x -   sinh x

Opa, show de bola! Sabemos isso tudo! Só substituir agora:

cosh x   =     e ln - 1 + 17 4 - - 1 4

cosh x   =     - 1 + 17 4 + 1 4

cosh x   =     17 4 1,03

Passo 3

(b) Encontrar t a n h   x

Similar a uma tangente normal, a tangente hiperbólica é definida por:

tanh x = sinh x cosh x

Como já sabemos tanto sinh x e cosh x isso aqui vai ser que nem os americanos falam: pedaço de bolo. Vamos lá então:

tanh x = - 1 4 17 4  

tanh x = - 1 17   - 0,24

Passo 4

(c) Encontrar s i n h   2 x

Mas uma letra e a gente fecha a questão e pode partir pro abraço. Vamos lembrar que, se:

sinh x = e x - e - x 2

Então:

sinh 2 x = e 2 x - e - 2 x 2

sinh 2 x = e 2 + e x - e - 2 + e - x 2

sinh 2 x = e 2 - e - 2 2 + e x - e - x 2

sinh 2 x = sinh 2 + sinh x

Opa, sabemos tudo ai: Vamos ter então:

sinh 2 x = sinh 2 - 1 4   3,38

Resposta

a ) cosh x   =     17 4 1,03

b )     tanh x = - 1 17   - 0,24

c )   sinh 2 x = sinh 2 - 1 4   3,38

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