Exercícios Resolvidos de Derivada de Funções Hiperbólicas

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Enunciado

5. Sejam f : R → R diferenciável em R , com f 0 = 1 , f ' 0 = 1 e g x = x 2 - 3 x + 2 , tais que a reta tangente ao gráfico da f no ponto de abscissa x = 1 também é tangente ao gráfico de g no mesmo ponto.

a) Determine f 1 e f ' 1 .

b) Se h x = f e x 2 f x , determine h ' x .

c) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de h em x = 0 .

Passo 1

Falaaa... tudo bem???

Nessa questão vamos usar esse monte de informação do enunciado para calcular f 1 e f ' 1 .

Pra isso, vamos ter que lembrar que a reta de tangência é a reta que encosta no gráfico somente em um pontinho.

E também que a inclinação da reta tangente é dada pela derivada da função.

Passo 2

Repara que não temos nenhuuuma informação sobre a cara que a função f tem, então vamos ter que fazer tudo meio teórico mesmo.

Como a reta tangente à função e a função se encostam em um único ponto (o ponto de tangência), então podemos dizer que:

f 1 = g 1

= 1 2 - 3 1 + 2

= 0

Passo 3

Também temos que a reta tangente à f também é tangente à g no mesmo ponto, x = 1 , então as duas derivadas são iguais:

f ' 1 = g ' 1

Calculando a derivada de g :

g ' x = 2 x - 3

Então...

f ' 1 = g ' 1

= 2 1 - 3

= - 1

Resposta

f 1 = 0

f ' 1 = - 1

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