Exercícios Resolvidos de Derivada de Funções Hiperbólicas

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Enunciado

Derive:

y = e x - e - x e x + e - x + 4 tanh ⁡ x

Passo 1

Ok, não fazemos ideia de como derivar essa divisão de exponenciais aí.

Contudo, se vc for parar para se lembrar de como são definidos seno e cosseno hiperbólico, vai lembrar isso aqui:

senh ⁡ x = e x - e - x 2

cosh ⁡ x = e x + e - x 2

Bom, olhando isso, que tal a gente dividir uma equação pela outra?

senh ⁡ x cosh ⁡ x = e x - e - x 2 e x + e - x 2

Cara, a divisão de seno hiperbólico por cosseno hiperbólico resulta na tangente hiperbólica!

tanh ⁡ x = e x - e - x e x + e - x

Passo 2

Aplicando isso na equação, teremos:

y = e x - e - x e x + e - x + 4 tanh ⁡ x

= tanh ⁡ x + 4 tanh ⁡ x

= 5 tanh ⁡ x

Muito melhor para derivar agora!

Passo 3

Derivando o termo, podemos botar a constante para fora:

y ' = 5 tanh ⁡ x '

= 5 tanh ⁡ x '

Sabemos que a derivada da tanh ⁡ x é ela mesma:

tanh ⁡ x ' = sech 2 ⁡ x

O resultado, portanto, vai ser:

y ' = 5 tanh ⁡ x '

y ' = 5 sech 2 ⁡ x

Resposta

y ' = 5 sech 2 ⁡ x

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