Exercícios Resolvidos de Derivada de Funções Hiperbólicas

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Enunciado

5. Sejam f : R → R diferenciável em R , com f 0 = 1 , f ' 0 = 1 e g x = x 2 - 3 x + 2 , tais que a reta tangente ao gráfico da f no ponto de abscissa x = 1 também é tangente ao gráfico de g no mesmo ponto.

a) Determine f 1 e f ' 1 .

b) Se h x = f e x 2 f x , determine h ' x .

c) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de h em x = 0 .

Passo 1

Falaa... belezinha??

Na letra b temos uma função diferentona, né? E vamos ter que calcular a derivada dela.

Pra isso vamos precisar lembrar da regra da cadeia em uma função tipo f x = g h x teremos:

f ' x = g h x '

= h ' x g ' h x

E da regra do produtor:

f x g x = f ' x g x + f x g ' x

Passo 2

Para a questão temos a função h x = f e x 2 f x .

Usando a regra da cadeia:

h ' x = f e x 2 f x '

= e x 2 f x ' f ' e x 2 f x

Usando a regra do produto no primeiro termo:

= e x 2 ' f x + e x 2 f ' x f ' e x 2 f x

E precisa aplicar a regra da cadeira de novo:

= 2 x e x 2 f x + e x 2 f ' x f ' e x 2 f x

= e x 2 2 x f x + f ' x f ' e x 2 f x

Resposta

h ' x = e x 2 2 x f x + f ' x f ' e x 2 f x

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