Exercícios Resolvidos de Derivada de Funções Hiperbólicas

George B. Thomas Jr., Cálculo volume I, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda, 2009, pp.263-3b modificado

Mostre que a função y = a senh ⁡ x + b cosh ⁡ x satisfaz a seguinte equação

y ' ' = y

Passo 1

Vamos lembrar a fórmula das derivadas da funções hiperbólicas

( senh ⁡ x ) ' = c o s h   x

cosh ⁡ x ' = senh ⁡ x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O que ele quer nessa questão é ver se a segunda derivada é igual a própria função! Então vamos derivar esse cara duas vezes.

A primeira derivada, fica assim:

y = a senh ⁡ x + b cosh ⁡ x

y ' = a senh ⁡ x ' + b cosh ⁡ x '

y ' = a cosh ⁡ x + b senh ⁡ x

Passo 3

Segunda derivada:

y ' ' = a cosh ⁡ x ' + b senh ⁡ x '

= a senh ⁡ x + b cosh ⁡ x

É, confirmou-se. O y ' ' é igual ao y original. Provamos que

y ' ' = y

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