Exercícios Resolvidos de Derivada de Funções Hiperbólicas

UFF, Cálculo IA, Listas GMA - Listão pra P2, Questão Lista 17 - Questão 8

Calcule o limite

lim x 0 + senh x x 1 x

Passo 1

Substituindo x no limite, encontramos a indeterminação 0 0 . Precisamos sair dessa indeterminação. Note que trabalhar com o expoente 1 x nos atrapalha muito, então vãos tirá-lo, aplicando a propriedade

e ln a = a

Então

lim x 0 + senh x x 1 x = lim x 0 + e ln senh x x 1 x

Agora podemos tirar o expoente, colocando-o como um coeficiente.

lim x 0 + e 1 x ln senh x x

lim x 0 + e ln senh x x x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Já que a função exponencial é uma função contínua, isso nos permite fazer a seguinte mudança

lim x 0 + e ln senh x x x = e lim x 0 + ln senh x x x

Agora, vamos resolver separadamente o limite:

lim x 0 + ln senh x x x

Se substituirmos o x encontraremos a indeterminação 0 0 . Então podemos aplicar L’Hopital.

lim x 0 + ln senh x x ' x ' =

lim x 0 + 1 senh x x senh x x ' 1 =

l i m x 0 + x senh x x cosh x - senh x x ² =

l i m x 0 + x ² cosh x   - x senh x x ² senh x =

l i m x 0 + x cosh x   - senh x x senh x

Será que paramos por aí? Aplicando o limite vamos ter:

0 . cosh 0   - senh 0 0 senh 0

0 . 1   - 0 0 . 0

0 0

Não foi agora.Aplicando L’Hopital novamente então:

l i m x 0 + ( x cosh x   - senh x ) ' ( x senh x ) ' =

l i m x 0 + cosh x + x senh x   - cosh x senh x + x cosh x =

l i m x 0 + x senh x senh x + x cosh x

Substituindo x por zero teremos

0 senh 0 senh 0 + 0 cosh 0 = 0 0 + 0 = 0 0

Ok, não foi ainda. L’Hopital Mais uma vez então:

l i m x 0 + x senh x ' senh x + x cosh x ' =

l i m x 0 + senh x + x . cosh x cos h x + cosh x + x . sinh x

Agora vai em, substituindo por 0, temos:

senh 0 + 0 . cosh 0 cosh 0 + cosh 0 + 0 . sinh 0

0 + 0 . 1 1 + 1 + 0 . 0

0 2 = 0

Passo 3

Então, voltando para a expressão completa, tínhamos

e lim x 0 + ln senh x x x

E agora descobrimos que

lim x 0 + ln senh x x x = 0

Portanto

e lim x 0 + ln senh x x x = e 0 = 1

Resposta

1

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