Exercícios Resolvidos de Derivada de Funções Hiperbólicas

UFF, Cálculo IA, Listas GMA - Listão pra VS, Questão 22

Calcule o limite.

lim x 0 1 + e x 2 coth x

Passo 1

Temos

lim x 0 1 + e x 2 = 1 + 1 2 = 1

E:

lim x 0 coth x = lim x 0 cosh x senh x = ±

Isso porque

lim x 0 cosh x = 1

lim x 0 - senh x = 0 - lim x 0 + senh x = 0 +

Enfim, de qualquer forma caímos numa indeterminação do tipo 1 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Fazemos:

lim x 0 1 + e x 2 coth x = lim x 0 e ln 1 + e x 2 coth x

= e lim x 0 ln 1 + e x 2 coth x

Passo 3

Agora calculamos esse limite do expoente separado:

lim x 0 ln 1 + e x 2 coth x = lim x 0 coth x . ln 1 + e x 2

= lim x 0 ln 1 + e x 2 tanh x

Agora caímos numa indeterminação 0 0 onde dá pra mandar l’Hospital!

Passo 4

Então esse limite vai dar:

lim x 0 2 1 + e x . e x 2 sech 2 x = lim x 0 e x 1 + e x sech 2 x

= lim x 0 e x cosh 2 x 1 + e x = 1.1 1 + 1 = 1 2

Passo 5

Excelente!! Agora é voltar pro nosso limite original:

lim x 0 1 + e x 2 coth x = e lim x 0 ln 1 + e x 2 coth x = e 1 2

E é isso! :)

Resposta

e 1 2

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