Exercícios Resolvidos de Derivada de Funções Hiperbólicas

Derive:

y = tan x - 2 x   8 x sech x - 20   sec x x + sinh 2 x - cosh 2 x + 5 sinh x

Passo 1

Para derivar essa coisa doida ai, primeiro vamos aplicar a distributiva só nos termos que não tem quadrado:

y = tan x - 2 x   8 x sech x - 20   sec x x + 5 sinh x - 2 x   sinh 2 x - cosh 2 x

y = tan x -   16 sech x + 40   sec x + 5 sinh x - 2 x   sinh 2 x - cosh 2 x

Agora vou separar essa função em dois pedaços e fazer um de cada vez. Dessa forma eu deixo pra me preocupar com os termos ao quadrado depois:

y = y 1 + y 2

y ' = y 1 ' + y 2 '

y 1 = tan x -   16 sech x + 40   sec x + 5 sinh x

y 2 = - 2 x sinh 2 x - cosh 2 x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora pra derivar essas somas e subtrações sem termos ao quadrado basta a gente obedecer as regras de derivação:

y 1 ' = tan x ' - 16 sech x ' + 40 sec x ' + 5 sinh x '

y 1 ' = tan x ' - 16 sech x ' + 40 sec x ' + 5 sinh x '

Passo 3

Vamos fazer uma derivada de cada vez. Começamos pela tangente:

tan x ' = sec 2 x

A sech x pode ser derivada pelo que apresentamos na teoria:

sech x ' = - sech x tgh x

Ja sec x temos a derivada da parte de derivação trigonométrica, que é equivalente a:

sec x ' = sec x tg x

E pra fechar, deriva-se o seno hiperbólico:

sinh x ' = cosh x

Passo 4

Sendo assim,

y 1 ' = tan x ' - 16 sech x ' + 40 sec x ' + 5 sinh x '

y 1 ' = sec 2 x - 16 - sech x tgh x + 40 sec x tg x + 5 cosh x

y 1 ' = sec 2 x + 16 sech x tgh x + 40 sec x tg x + 5 cosh x

Passo 5

Agora, pra gente fechar e partir pro abraço, vamos olhar o que ficou faltando:

y 2 = - 2 x sinh 2 x - cosh 2 x

Como y 2 tem termos ao quadrado, talvez seja interessante usar as definição das funções hiperbólicas. Vai que conseguimos reescrever de forma mais simples?

sinh x = e x - e - x 2

cosh x = e x + e - x 2

Vamos ter então:

y 2 = - 2 x e x - e - x 2 2 - e x + e - x 2 2

y 2 = - 2 x e x - e - x 2 4 - e x + e - x 2 4

y 2 = - 2 x e 2 x - e x e - x - e x e - x + e - 2 x 4 - e 2 x + e x e - x + e x e - x + e - 2 x 4

y 2 = - 2 x e 2 x - 2 + e - 2 x 4 - e 2 x + 2 + e - 2 x 4

Rearranjando, temos:

y 2 = - 2 x e 2 x + e - 2 x 4 - 2 4 - e 2 x + e - 2 x 4 - 2 4

y 2 = - 2 x e 2 x + e - 2 x 4 - e 2 x + e - 2 x 4 - 2 4 - 2 4

y 2 = 2 x

E logo, a derivada vai ser:

y 2 ' = 2

Por fim, temos:

y ' = sec 2 x + 16 sech x tgh x + 40 sec x tg x + 5 cosh x + 2

Resposta

y ' = sec 2 x + 16 sech x tgh x + 40 sec x tg x + 5 cosh x + 2

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas