Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais de Ordem Superior

Passo 1

Afff, calcular derivadas parciais 6 vezes: 3 para a variável K e 3 para a variável L .......

Mas, vamo que vamo, é o jeito né.

Para nos ajudar, vamos usar o Teorema de Schwarz, que diz que as derivadas parciais mistas são iguais.

Bora lá, começando pelas derivadas primeiras.

Nossa função é

Q = 4 K 3 4 L 1 4

A derivada parcial em relação a K fica:

Q K = 4 . 3 4 K - 1 4 L 1 4

Q K = 3 K - 1 4 L 1 4

E em relação a L fica:

Q L = 4 . 1 4 K 3 4 L - 3 4

Q L = K 3 4 L - 3 4

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

As derivadas segundas vão ser:

Em relação a K :

Q K = 3 K - 1 4 L 1 4

Q K K = 3 - 1 4 K - 5 4 L 1 4

Q K K = - 3 4 K - 5 4 L 1 4

Em relação a L :

Q L = K 3 4 L - 3 4

Q L L = - 3 4 K 3 4 L - 7 4

E as derivadas parciais mistas (lembrando que são iguais):

Q L = K 3 4 L - 3 4

Q K L = Q L K = 3 4 K - 1 4 L - 3 4

Passo 3

Finalmente, vamos as derivadas terceiras:

Em relação a K :

Q K K = - 3 4 K - 5 4 L 1 4

Q K K K = - 3 4 - 5 4 K - 9 4 L 1 4

Q K K K = 15 16 K - 9 4 L 1 4

Em relação a L :

Q L L = - 3 4 K 3 4 L - 7 4

Q L L L = - 3 4 - 7 4 K 3 4 L - 11 4

Q L L L = 21 16 K 3 4 L - 11 4

E as derivadas parciais mistas (lembrando que são iguais):

Nesse caso, vamos ter 6 derivadas parciais mistas, pois devemos considerar todas as combinações.

Vamos começar pelas combinações com K :

Q K K = - 3 4 K - 5 4 L 1 4

Q K K L = Q K L K = Q L K K = - 3 4 1 4 K - 5 4 L - 3 4

Q K K L = Q K L K = Q L K K = - 3 16 K - 5 4 L - 3 4

Agora vamos para as combinações com L :

Q L L = - 3 4 K 3 4 L - 7 4

Q L L K = Q K L L = Q L K L = - 3 4 3 4 K - 1 4 L - 7 4

Q L L K = Q K L L = Q L K L = - 9 16 K - 1 4 L - 7 4

Ufa, acabou!

Resposta

Q K = 3 K - 1 4 L 1 4

Q K K = - 3 4 K - 5 4 L 1 4

Q K K K = 15 16 K - 9 4 L 1 4

Q L = K 3 4 L - 3 4

Q L L = - 3 4 K 3 4 L - 7 4

Q L L L = 21 16 K 3 4 L - 11 4

Q K L = Q L K = 3 4 K - 1 4 L - 3 4

Q K K L = Q K L K = Q L K K = - 3 16 K - 5 4 L - 3 4

Q L L K = Q K L L = Q L K L = - 9 16 K - 1 4 L - 7 4

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