Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais de Ordem Superior

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Enunciado

23 Calcule ∂ f ∂ y 1,2 para f x , y =   x x x y + s e n π x x 2 + s e n x + y + e x cos 2 ⁡ y .

Dica: Deve ser de fácil resolução.

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema, nosso objetivo é calcular a derivada parcial de f em relação a y no ponto 1,2 sendo f x , y =   x x x y + s e n π x x 2 + s e n x + y + e x cos 2 ⁡ y .

Parece complicado? 😬

Para calcular as derivadas parciais de uma função em relação a x , por exemplo, temos que considerar as demais variáveis como constantes e derivar em relação a x normalmente.

Com o resultado obtido aplicamos o ponto 1,2 e obtemos o nosso resultado.

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Montando a equação da derivada, temos

∂ f ∂ y = ∂ x x x y + s e n π x x 2 + s e n x + y + e x cos 2 ⁡ y ∂ y

∂ f ∂ y = ∂ x x x y + x 2 s e n π x + s e n π x s e n x + y + e x s e n π x cos 2 ⁡ y ∂ y

Como a derivada da soma é igual a soma das derivadas, então

∂ f ∂ y = ∂ x x x y ∂ y + ∂ x 2 s e n π x ∂ y + ∂ s e n π x s e n x + y ∂ y + ∂ e x s e n π x cos 2 ⁡ y ∂ y

Assim podemos analisar cada termo separadamente...

Começando pelo termo x x x y podemos aplicar uma propriedade de exponenciais

a b = e b ln ⁡ a

Ou seja

x x x y = e x x y ln ⁡ x

∂ x x x y ∂ y = ∂ e x x y ln ⁡ x ∂ y

Pela regra da cadeia, temos

∂ x x x y ∂ y = ∂ x x y ln ⁡ x ∂ y ∂ e u ∂ u

Aplicando as mesmas propriedades e o teorema fundamental do cálculo, chegamos em

∂ x x x y ∂ y = x x x y + x y + x ln 3 ⁡ x

Tranquilo até aqui? 😊

Passo 3

Continuando as análises, temos que para o termo x 2 s e n π x não temos y para derivar então é o mesmo que derivar uma constante...

∂ x 2 s e n π x ∂ y = 0

Para o próximo termo temos s e n π x s e n x + y , nesse caso temos uma função composta, logo sua derivada é obtida pela regra da cadeia

∂ s e n π x s e n x + y ∂ y = s e n π x ∂ s e n x + y ∂ y = s e n π x ∂ x + y ∂ y ∂ s e n v ∂ v

∂ s e n π x s e n x + y ∂ y = s e n π x 1 cos ⁡ v

Simplificando e voltando v para x + y

∂ s e n π x s e n x + y ∂ y = s e n π x cos ⁡ x + y

E por último, temos e x s e n π x cos 2 ⁡ y , nesse caso, podemos aplicar a regra da cadeia

∂ e x s e n π x cos 2 ⁡ y ∂ y = e x s e n π x ∂ cos 2 ⁡ y ∂ y = e x s e n π x ∂ cos ⁡ y ∂ y ∂ w 2 ∂ w

∂ e x s e n π x cos 2 ⁡ y ∂ y = e x s e n π x - sin ⁡ y 2 w

Como w = cos ⁡ y

∂ e x s e n π x cos 2 ⁡ y ∂ y = e x s e n π x - sin ⁡ y 2 cos ⁡ y

∂ e x s e n π x cos 2 ⁡ y ∂ y = - e x s e n π x 2 sin ⁡ y cos ⁡ y

Aplicando identidades trigonométricas.

∂ e x s e n π x cos 2 ⁡ y ∂ y = - e x s e n π x sin ⁡ 2 y

Bacana, não é? 😉

Passo 4

Agora temos que juntar os resultados que obtemos para cada termo em ∂ f ∂ y .

∂ f ∂ y = ∂ x x x y ∂ y + ∂ x 2 s e n π x ∂ y + ∂ s e n π x s e n x + y ∂ y + ∂ e x s e n π x cos 2 ⁡ y ∂ y

∂ f ∂ y = x x x y + x y + x ln 3 ⁡ x + 0 + s e n π x cos ⁡ x + y - e x s e n π x sin ⁡ 2 y

∂ f ∂ y = x x x y + x y + x ln 3 ⁡ x + s e n π x cos ⁡ x + y - e x s e n π x sin ⁡ 2 y

E finalmente aplicando o ponto 1,2 , chegamos em

∂ f ∂ y 1,2 = 1 1 1 2 + 1 2 + 1 ln 3 ⁡ 1 + s e n π 1 cos ⁡ 1 + 2 - e 1 s e n π 1 sin ⁡ 2 2

∂ f ∂ y 1,2 = 0 + 0 - 0

∂ f ∂ y 1,2 = 0

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

∂ f ∂ y 1,2 = 0

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