Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais de Ordem Superior

Apostila de Cálculo II, W. Bianchini, seção 5.5, Exemplo 5.14, página 81

Determine as derivadas parciais de primeira e segunda ordem de

z = f x , y = x 3 + 2 y 3 + 3 x 2 y 2

Passo 1

Calculando f x :

f x = 3 x 2 + 0 + 3 2 x y 2

f x = 3 x 2 + 6 x y 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Calculando f y :

f y = 0 + 2 3 y 2 + 3 x 2 ( 2 y )

f y = 6 y 2 + 6 x 2 y

Passo 3

Calculando 2 f x 2 :

2 f x 2 = x f x

2 f x 2 = x 3 x 2 + 6 x y 2

2 f x 2 = 3 2 x + 6 1 y 2

2 f x 2 = 6 x + 6 y 2

Passo 4

Calculando 2 f y 2 :

2 f y 2 = y f y

2 f y 2 = y 6 y 2 + 6 x 2 y

2 f y 2 = 6 2 y + 6 x 2 ( 1 )

2 f y 2 = 12 y + 6 x 2

Passo 5

Calculando 2 f x y :

2 f x y = x f y

2 f x y = x 6 y 2 + 6 x 2 y

2 f x y = 0 + 6 2 x y

2 f x y = 12 x y

De maneira alternativa, também podemos calcular

2 f y x = y f x

2 f y x = y 3 x 2 + 6 x y 2

2 f y x = 0 + 6 x ( 2 y )

2 f y x = 12 x y

Perceba que o resultado é o mesmo!

Resposta

f x = 3 x 2 + 6 x y 2

f y = 6 y 2 + 6 x 2 y

2 f x 2 = 6 x + 6 y 2

2 f y 2 = 12 y + 6 x 2

2 f x y = 12 x y

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