Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais de Ordem Superior

Ver Teoria

Enunciado

(Cap 14.3 – Ex 80) Se u = e a 1 x 1 + a 2 x 2 + … … + a n x x onde a 1 2 + a 2 2 + … + a n 2 = 1 mostra isso

∂ 2 u ∂ x 1 2 + ∂ 2 u ∂ x 2 2 + … + ∂ 2 u ∂ x n 2 = u

Passo 1

E ai meus queridos? Tudo certinho?

Então vem comigo que no caminho eu explicooo

A expressão dada pelo enunciado é

u = e a 1 x 1 + a 2 x 2 + … … + a n x x

Passo 2

Iremos diferenciar parcialmente em relação a x 1

∂ u ∂ x 1 = a 1 e a 1 x 1 + a 2 x 2 + … … + a n x x

Novamente, em relação a x 1

∂ 2 u ∂ x 1 2 = a 1 2   e a 1 x 1 + a 2 x 2 + … … + a n x x

Passo 3

Iremos diferenciar parcialmente duas vezes em relação a x 2

∂ u ∂ x 2 = a 2 2 e a 1 x 1 + a 2 x 2 + … … + a n x x

Portanto, no geral

∂ 2 u ∂ x i 2 = a i 2   e a 1 x 1 + a 2 x 2 + … … + a n x x

Passo 4

Então

∂ 2 u ∂ x 1 2 + ∂ 2 u ∂ x 2 2 + … . + ∂ 2 u ∂ x n 2

= ( a 1 2 + a 2 2 + … . + a n 2 ) e a 1 x 1 + a 2 x 2 + … … + a n x x

Desde

a 1 2 + a 2 2 + … . + a n 2 = 1

Portanto

∂ 2 u ∂ x 1 2 + ∂ 2 u ∂ x 2 2 + … . + ∂ 2 u ∂ x n 2 = e a 1 x 1 + a 2 x 2 + … … + a n x x

∂ 2 u ∂ x 1 2 + ∂ 2 u ∂ x 2 2 + … . + ∂ 2 u ∂ x n 2 = u

Resposta

∂ 2 u ∂ x 1 2 + ∂ 2 u ∂ x 2 2 + … . + ∂ 2 u ∂ x n 2 = u

Exercícios de Livros Relacionados

A energia cinética de um corpo com massa m e velocidade v é K = 1 2 m v 2 . Mostre que ∂ K ∂ m ∂ 2 K ∂ v 2 = K
Verifique que a função z = ln ⁡ e x + e y é uma solução das equações diferenciais ∂ z ∂ x + ∂ z ∂ y = 1 e ∂ 2 z ∂ x 2 ∙ ∂ 2 z ∂ y 2 - ∂ 2 z ∂ x ∂ y 2 = 0 ⏟ * * * *** Em algumas edições do livro do Ste
Se f e g são funções duas vezes diferenciáveis de uma única variável, mostre que a função u x , t = f x + a t + g x - a t é solução da equação de onda dada no exercício 74.