Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais de Ordem Superior

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Enunciado

Determine as derivadas parciais de segunda ordem.

9) T r , θ = e - 2 r cos ⁡ θ

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está um pouco complicada essa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema nosso objetivo é calcular as derivadas parciais de segunda ordem da função T r , θ = e - 2 r cos ⁡ θ .

Parece difícil? 🤔

Para calcular a derivada parcial de segunda ordem de uma função em relação a uma variável, consideramos as demais variáveis da função como constantes.

Para calcular as derivadas de segunda ordem calculamos a derivada do resultado que encontramos na primeira.

Sacou? Bora começar! 😬

Passo 2

Primeiro vamos derivar T em função de r

T r = ∂ e - 2 r cos ⁡ θ ∂ r

Pela regra da cadeia, obtemos essa derivada como

T r = cos ⁡ θ ∂ - 2 r ∂ r ∂ e u ∂ u

T r = cos ⁡ θ - 2 e u

Simplificando e voltando u para - 2 r

T r = - 2 cos ⁡ θ e - 2 r

Agora vamos fazer o mesmo para θ pelo mesmo método.

T θ = ∂ e - 2 r cos ⁡ θ ∂ θ = e - 2 r ∂ cos ⁡ θ ∂ θ

Pelo teorema fundamental do cálculo

T θ = - e - 2 r sin ⁡ θ

Tranquilo até aqui? 😉

Passo 3

Agora podemos obter as derivadas de segunda ordem.

Primeiro vamos usar as derivadas de segunda ordem de T r .

Derivando T r com relação a r

T r r = ∂ - 2 cos ⁡ θ e - 2 r ∂ r

T r r = - 2 cos ⁡ θ ∂ e - 2 r ∂ r

Já calculamos a derivada de e - 2 r anteriormente, não é?

T r r = - 2 cos ⁡ θ - 2 e - 2 r

T r r = 4 cos ⁡ θ e - 2 r

Agora derivamos T r com relação a θ

T r θ = ∂ - 2 cos ⁡ θ e - 2 r ∂ θ

T r θ = - 2 e - 2 r ∂ cos ⁡ θ ∂ θ

T r θ = 2 e - 2 r sin ⁡ θ

Bacana, não é? 😊

Passo 4

Agora vamos fazer as mesmas coisas para T θ .

Derivando com relação a r

T θ r = ∂ - e - 2 r sin ⁡ θ ∂ r

T θ r = - sin ⁡ θ ∂ e - 2 r ∂ r

Novamente substituindo o resultado da derivada de e - 2 r

T θ r = - sin ⁡ θ - 2 e - 2 r

T θ r = 2 sin ⁡ θ e - 2 r

Agora derivamos T θ em função de θ

T θ θ = ∂ - e - 2 r sin ⁡ θ ∂ θ

T θ θ = - e - 2 r ∂ sin ⁡ θ ∂ θ

Pelo teorema fundamental do cálculo

T θ θ = - e - 2 r cos ⁡ θ

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

T r r = 4 cos ⁡ θ e - 2 r

T r θ = 2 e - 2 r sin ⁡ θ

T θ r = 2 sin ⁡ θ e - 2 r

T θ θ = - e - 2 r cos ⁡ θ

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