Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais de Ordem Superior

Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem da função

f x , y = x y e y 2

Passo 1

Vamos lá, aquele trabalho braçal de derivar.

Coisa chata, porém, é só ter atenção que é ponto garantido na prova.

Coragem, amigos

Começando pelas derivadas primeiras:

f x , y = x y e y 2

Derivada parcial em relação a x :

∂ f ∂ x = 1 . y e y 2 = y e y 2

Fácil, né?

Agora para a derivada parcial em relação a y vai ser um pouuuco mais chatinho. Vamos precisar usar a regra do produto e a regra da cadeia, tá bem?

∂ f ∂ y = x e y 2 + 2 y x y e y 2 = x e y 2 + 2 x y 2 e y 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos para as derivadas segundas.

∂ 2 f ∂ x 2 = 0

De novo, essa foi easy game, né?

Já para fazer a segunda derivada em relação a y vamos de novo ter que usar regra do produto e da cadeia.

∂ 2 f ∂ y 2 = 2 y x e y 2 + 4 x y e y 2 + 2 y 2 x y 2 e y 2 = 2 y x e y 2 + 4 x y e y 2 + 4 x y 3 e y 2

Passo 3

Beleza, mas ainda não acabaram as nossas derivadas segundas, não é mesmo?

Ainda faltam as derivadas parciais mistas.

Vamos lá.

Como a questão pediu pra gente calcular todas as derivadas parciais de segunda ordem, vamos calcular as duas derivadas parciais mista da nossa função.

Vamos começar pegando a derivada parcial em relação a x e derivadndo em relação a y :

∂ f ∂ x = y e y 2

Regra do produto + regra da cadeia:

∂ 2 f ∂ y ∂ x = 1 . e y 2 + 2 y y e y 2 = e y 2 + 2 y 2 e y 2  

Show.

Agora vamos fazer o contrário: pegar a derivada parcial em relação a y e derivar em relação a x :

∂ f ∂ y = x e y 2 + 2 x y 2 e y 2

∂ 2 f ∂ x ∂ y = e y 2 + 2 y 2 e y 2  

Resposta

∂ f ∂ x = y e y 2

∂ f ∂ y = x e y 2 + 2 x y 2 e y 2

∂ 2 f ∂ x 2 = 0

∂ 2 f ∂ y 2 = 2 y x e y 2 + 4 x y e y 2 + 4 x y 3 e y 2

∂ 2 f ∂ y ∂ x = e y 2 + 2 y 2 e y 2  

∂ 2 f ∂ x ∂ y = e y 2 + 2 y 2 e y 2  

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