Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais de Ordem Superior

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009,p.127, exercício 7

Se

f x , y = x y e x y

Mostre que

x ∂ 3 f ∂ x 3 + y ∂ 3 f ∂ y ∂ x 2 = 0

Passo 1

Vamos calcular essas derivadas ai e vê se esse negócio da zero mesmo.

Começando por ∂ 3 f ∂ x 3 .

∂ 3 f ∂ x 3 = ∂ f ∂ x ∂ f ∂ x ∂ f ∂ x

Entendeu?

Temos que derivar três vezes em relação a x :

∂ f ∂ x = y e x y + x y e x y 1 y = y e x y + x e x y  

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, derivando de novo:

∂ f ∂ x ∂ f ∂ x = ∂ f ∂ x y e x y + x e x y = y e x y 1 y + e x y + x e x y 1 y = 2 e x y + x y e x y

Passo 3

Agora, deriando mais uma vez:

∂ f ∂ x ∂ f ∂ x ∂ f ∂ x = ∂ f ∂ x 2 e x y + x y e x y 2 e x y 1 y + 1 y   e x y + x y e x y 1 y = 3 y e x y + x y 2 e x y

Então

∂ 3 f ∂ x 3 = 3 y e x y + x y 2 e x y

Beleza, vamos guardar isso.

Passo 4

Agora vamos calcular ∂ 3 f ∂ y ∂ x 2

∂ 3 f ∂ y ∂ x 2 = ∂ f ∂ y ∂ f ∂ x ∂ f ∂ x

A ∂ f ∂ x ∂ f ∂ x nós já calculamos:

∂ f ∂ x ∂ f ∂ x = 2 e x y + x y e x y

Agora só precisamos derivá-la em relação a y :

∂ f ∂ y ∂ f ∂ x ∂ f ∂ x = ∂ f ∂ y 2 e x y + x y e x y = 2 e x y - x y 2 - x y 2 e x y + x y e x y   - x y 2

∂ f ∂ y ∂ f ∂ x ∂ f ∂ x = - 3 x y 2 e x y - x 2 y 3 e x y

Então

∂ 3 f ∂ y ∂ x 2 = - 3 x y 2 e x y - x 2 y 3 e x y

Passo 5

-

Agora vamos substituir na equação que o problema nos deu e vê se deu certo:

x ∂ 3 f ∂ x 3 + y ∂ 3 f ∂ y ∂ x 2

x 3 y e x y + x y 2 e x y + y - 3 x y 2 e x y - x 2 y 3 e x y = e x y 3 x y + x 2 y 2 + e x y - 3 x y - x 2 y 2 = 0

Show! Deu tudo certo, então, tá ai a prova que a questão queria

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