Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais de Ordem Superior

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Enunciado

Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem da função

f x , y = ln ⁡ x + 2 y + e x y

Passo 1

As derivadas de segunda ordem de uma função f   são

f x x   ; f y y   ; f x y   ; f y x

Para determinarmos quem eles são, precisamos primeiro calcular as de primeira ordem.

Derivando em relação a x :

f x = ∂ ( ln ⁡ x + 2 y + e x y ) ∂ x = ∂ ln ⁡ x + 2 y ∂ x + ∂   e x y ∂ x

Logo, calculando as derivadas como se fossem funções de uma variável com y ‘constante’, temos:

f x = 1 x + 2 y + y e x y

Derivando em relação a y :

f y = ∂ ( ln ⁡ x + 2 y + e x y ) ∂ y = ∂   l n ⁡ ( x + 2 y ) ∂ y + ∂   e x y ∂ y

Calculando essas derivadas parciais, temos:

f y = 2 x + 2 y + x e x y

Passo 2

Agora que calculamos as de primeira ordem, vamos ao que de fato a questão quer. Para calcular as de segunda ordem, temos que calcular as derivadas parciais das derivadas calculadas no passo 1. Vamos calcular as derivadas f x x   e f y x

Calculando f x x :

f x x = ∂ ( 1 x + 2 y + y e x y ) ∂ x = ∂ 1 x + 2 y ∂ x + ∂ ( y e x y ) ∂ x

Derivando achamos:

f x x = - 1 x + 2 y 2 + y 2 e x y

Calculando f y x :

f y x = ∂ ( 2 x + 2 y + x e x y ) ∂ x = ∂ 2 x + 2 y ∂ x + ∂ ( x e x y ) ∂ x

Derivando, achamos:

f y x = - 2 x + 2 y 2 + e x y + x y e x y

Passo 3

Agora que já fizemos as derivadas parciais que terminam em x , vamos as que terminam em y , calculando as f x y e f y y derivando parcialmente os resultados encontrados no passo 1.

Calculando f y y :

f y y = ∂ 2 x + 2 y + x e x y ∂ y = ∂ 2 x + 2 y ∂ y + ∂ x e x y ∂ y

Derivando achamos:

f y y = - 4 x + 2 y 2 + x 2 e x y

Calculando f x y :

f x y = ∂ 1 x + 2 y + y e x y ∂ y = ∂ 1 x + 2 y ∂ y + ∂ y e x y ∂ y

Derivando achamos:

f x y = - 2 x + 2 y 2 + e x y + x y e x y

Pronto! Essas são todas as derivadas parciais de segunda ordem.

Resposta

f x x = - 1 x + 2 y 2 + y 2 e x y

f y x = - 2 x + 2 y 2 + e x y + x y e x y

f y y = - 4 x + 2 y 2 + x 2 e x y

f x y = - 2 x + 2 y 2 + e x y + x y e x y

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