Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais de Ordem Superior

Considere as seguintes afirmativas sobre a equação

f x x - f x y + f x z - f y x - f y z - f z x + f z y = 0

  1. f = sen ⁡ ( 2 x + y + z ) é uma solução.
  2. f = e x + 2 y cos ⁡ z 2 é uma solução.
  3. f = x 2 y + y 2 sec ⁡ z 2 é uma solução.

Assinale a alternativa correta:

  1. A afirmativa I é a única correta
  2. A afirmativa II é a única correta
  3. Todas as afirmativas são falsas
  4. Todas as afirmativas são corretas
  5. A afirmativa III é a única correta

Passo 1

Bom, primeiramente, vamos analisar a igualdade:

f x x - f x y + f x z - f y x - f y z - f z x + f z y = 0

É uma igualdade que envolve a derivada segunda em relação a x e as derivadas parciais mistas.

Maaaaaaas, a gente sabe que em 99,9999 … % dos casos, as derivadas parciais mistas são iguais duas a duas. Isso significa que dá pra fazer algumas simplificações nesse negócio aí.

Então, cortando as derivadas parciais mistas que são iguais e que temos uma com sinal de mais e outra com sinal de menos:

f x x - f x y - f y x = 0

Sobra só isso daí.

Ainda bem, porque poupa nosso trabalho de ter que calcular muitas derivadas.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Ótimo, agora que já simplificamos nossa igualdade, o jeito vai ser testar cada uma das alternativas, fazendo as derivadas segundas de cada uma das funções e vendo se atende a igualdade.

Vamos começar pela função

f = sen ⁡ ( 2 x + y + z )

A derivada primeiras em relação a x é: (dica: como as derivadas parciais mistas são iguais, a gente pode calcular só f x e depois pegar essa e derivar em relação a y )

f x = 2 cos ⁡ ( 2 x + y + z )

Assim, a derivada segunda de x em relação a x vai ser

f x x = - 4 s en ⁡ ( 2 x + y + z )

E as derivadas parciais mistas vão ser

f x y = f y x = - 2 sen ⁡ ( 2 x + y + z )

Agora vamos testar na igualdade:

f x x - f x y - f y x = 0

- 4 sen ⁡ 2 x + y + z - - 2 sen ⁡ 2 x + y + z - - 2 sen ⁡ 2 x + y + z = 0

Opaaaa

0 = 0

A afirmativa I tá certa então.

Passo 3

Agora vamos testar para a função

f = e x + 2 y cos ⁡ z 2

A derivada primeira em relação a x é:

f x = e x + 2 y cos ⁡ z 2

Assim, a derivada segunda de x em relação a x vai ser

f x x = e x + 2 y cos ⁡ z 2

E as derivadas parciais mistas vão ser

f x y = f y x = 2 e x + 2 y cos ⁡ z 2

Agora vamos testar na igualdade:

f x x - f x y - f y x = 0

e x + 2 y cos ⁡ z 2 - 2 e x + 2 y cos ⁡ z 2 - 2 e x + 2 y cos ⁡ z 2 = 0

- 3 e x + 2 y cos ⁡ z 2 = 0

BUÊ BUÊ BUÊ BUÊEEM, não deu certo.

A afirmativa I I é falsa.

Passo 4

Finalmente, vamos testar a função

f = x 2 y + y 2 sec ⁡ z 2

A derivada primeira em relação a x é:

f x = 2 x y

Assim, a derivada segunda de x em relação a x vai ser

f x x = 2 y

E as derivadas parciais mistas vão ser

f x y = f y x = 2 x

Agora vamos testar na igualdade:

f x x - f x y - f y x = 0

2 y - 2 x - 2 x = 0

2 y - 4 x = 0

Também não deu certo.

Assim, só a afirmativa I é verdadeira.

Resposta

L e t r a   a

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