Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais de Ordem Superior

George B. Thomas, Cálculo,Volume II,11º ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, pg. 319, exercício 75.

Dada f uma função diferenciável de u e u = a ( x + c t ) , onde a é uma constante.

Mostre que a função w = f ( u ) é solução da equação de onda w t t = c 2 w x x

Passo 1

Vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem de w em relação a t e em relação a x e vamos ver se atende a equação da onda.

Começando por w t t :

w t = ∂ w ∂ t = ∂ f ∂ u . ∂ u ∂ t = ∂ f ∂ u . ( a c )

w t t = ∂ w ∂ t ∂ w ∂ t = ∂ w ∂ t ∂ f ∂ u . a c = a c ∂ 2 f ∂ u 2 . a c = a ² c ² ∂ 2 f ∂ u 2

*OBS.: f é uma função composta, então tivemos que usar a regra da cadeia.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos calcular w x x

w x = ∂ w ∂ x = ∂ f ∂ u . ∂ u ∂ x = ∂ f ∂ u . ( a )

w x x = ∂ w ∂ x ∂ w ∂ x = ∂ w ∂ x ∂ f ∂ u . a = a ∂ 2 f ∂ u 2 . a = a ² ∂ 2 f ∂ u 2

OBS.: também tivemos que usar a regra da cadeia ;)

Passo 3

Agora vamos substituir na equação da onda e ver se deu tudo certo:

w t t = c 2 w x x

a ² c ² ∂ 2 f ∂ u 2 = c 2 a ² ∂ 2 f ∂ u 2

Como ambos os lados da equação são iguais, então w é solução da equação de onda. 👍😁

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