Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais de Ordem Superior

Apostila de Cálculo II, W. Bianchini, seção 5.5, Exemplo 5.14, página 81

Determine as derivadas parciais de primeira e segunda ordem de

z = f x , y = x 3 + 2 y 3 + 3 x 2 y 2

Passo 1

Calculando ∂ f ∂ x :

∂ f ∂ x = 3 x 2 + 0 + 3 2 x y 2

⇒ ∂ f ∂ x = 3 x 2 + 6 x y 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Calculando ∂ f ∂ y :

∂ f ∂ y = 0 + 2 3 y 2 + 3 x 2 ( 2 y )

⇒ ∂ f ∂ y = 6 y 2 + 6 x 2 y

Passo 3

Calculando ∂ 2 f ∂ x 2 :

∂ 2 f ∂ x 2 = ∂ ∂ x ∂ f ∂ x

⇒ ∂ 2 f ∂ x 2 = ∂ ∂ x 3 x 2 + 6 x y 2

⇒ ∂ 2 f ∂ x 2 = 3 2 x + 6 1 y 2

⇒ ∂ 2 f ∂ x 2 = 6 x + 6 y 2

Passo 4

Calculando ∂ 2 f ∂ y 2 :

∂ 2 f ∂ y 2 = ∂ ∂ y ∂ f ∂ y

⇒ ∂ 2 f ∂ y 2 = ∂ ∂ y 6 y 2 + 6 x 2 y

⇒ ∂ 2 f ∂ y 2 = 6 2 y + 6 x 2 ( 1 )

⇒ ∂ 2 f ∂ y 2 = 12 y + 6 x 2

Passo 5

Calculando ∂ 2 f ∂ x ∂ y :

∂ 2 f ∂ x ∂ y = ∂ ∂ x ∂ f ∂ y

⇒ ∂ 2 f ∂ x ∂ y = ∂ ∂ x 6 y 2 + 6 x 2 y

⇒ ∂ 2 f ∂ x ∂ y = 0 + 6 2 x y

⇒ ∂ 2 f ∂ x ∂ y = 12 x y

De maneira alternativa, também podemos calcular

∂ 2 f ∂ y ∂ x = ∂ ∂ y ∂ f ∂ x

⇒ ∂ 2 f ∂ y ∂ x = ∂ ∂ y 3 x 2 + 6 x y 2

⇒ ∂ 2 f ∂ y ∂ x = 0 + 6 x ( 2 y )

⇒ ∂ 2 f ∂ y ∂ x = 12 x y

Perceba que o resultado é o mesmo!

Resposta

∂ f ∂ x = 3 x 2 + 6 x y 2

∂ f ∂ y = 6 y 2 + 6 x 2 y

∂ 2 f ∂ x 2 = 6 x + 6 y 2

∂ 2 f ∂ y 2 = 12 y + 6 x 2

∂ 2 f ∂ x ∂ y = 12 x y

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