Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais de Ordem Superior

UNICAMP, Cálculo 2, P1 2014 Noite, questão 2, item b

Sabendo que z = s i n   x + s i n   y     , mostre que

δ z δ x δ 2 z δ x δ y = δ z δ y δ 2 z δ x 2

Passo 1

Vamos lá, só pensar pedaço por pedaço que a coisa fica menos assustadora. Veja que temos δ z δ x , δ z δ y , δ 2 z δ x 2 , δ 2 z δ x δ y . Ou seja, temos que encontrar essas derivadas aí e, se derivarmos certinho, essa relação maluca aí do enunciado deve valer :D

Começando pelas primeiras derivadas, temos o seguinte:

z = s i n   x + s i n   y    

δ z δ x = c o s   (   x + s i n   y   ) . 1

Ou seja, a derivada do seno, vezes a derivada do argumento em relação a x .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Derivando agora a função z em relação a y , teremos:

z = s i n   x + s i n   y    

δ z δ y = c o s   (   x + s i n   y   ) . c o s   y  

Passo 3

Pegando a derivada em relação a x e derivando de novo em relação a x , obtemos:

δ z δ x = c o s   (   x + s i n   y   ) . 1

δ 2 z δ x 2 = - s i n   x + s i n   y     . 1

Show, agora já está quase tudo pronto!

Passo 4

Vamos pegar a derivada em relação a y e derivar em relação a x . Aí teremos:

δ z δ y = c o s   (   x + s i n   y   ) . c o s   y  

δ 2 z δ x δ y = -   s i n (   x + s i n   y   ) . c o s   y  

Bem tranquilinho :D Só derivar tratando a outra variável como constante, e fica que nem em cálculo 1 !

Passo 5

Pronto! Agora só por questões burocráticas vamos garantir que derivamos tudo certinho e mostrar pro avaliador que essa relação que eles deram no enunciado é realmente verdade ;)

δ z δ x δ 2 z δ x δ y = δ z δ y δ 2 z δ x 2

E encontramos que:

δ z δ x = c o s   (   x + s i n   y   )

δ z δ y = c o s   (   x + s i n   y   ) .   c o s   y  

δ 2 z δ x 2 = - s i n   x + s i n   y    

δ 2 z δ x δ y = -   s i n (   x + s i n   y   ) .   c o s   y  

Colocando esses valores na fórmula que deram, teremos:

c o s   (   x + s i n   y   ) . [ -   s i n (   x + s i n   y   ) .   c o s   y ]   = c o s   (   x + s i n   y   ) . c o s   y   . [ - s i n   x + s i n   y   ]  

E de fato, vemos que um lado é a mesma coisa que o outro!

Resposta

δ z δ x δ 2 z δ x δ y = δ z δ y δ 2 z δ x 2

c o s   (   x + s i n   y   ) . [ -   s i n (   x + s i n   y   ) .   c o s   y ]   = c o s   (   x + s i n   y   ) . c o s   y   . [ - s i n   x + s i n   y   ]  

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