Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais de Ordem Superior

UNICAMP, Cálculo 2, P1 2014 Manhã, questão 2, item a

Sejam f , g : R → R funções diferenciáveis. Mostre que u x , t = f x + a t + g x - a t , em que a ≠ 0 , satisfaz a equação de onda u t t = a 2 u x x .

Passo 1

Que questão confusa... Bom, se ele deu u , que é uma função de x e t , e chega numa parada que tem a segunda derivada de u em relação a x e em relação a t , então parece uma boa ideia começar calculando essas derivadas, seja lá o que formos fazer com elas...

Então vamos lá, derivada de u em relação a x :

u x , t = f x + a t + g x - a t

u x x , t = ∂ f x + a t ∂ x   . ∂ x ∂ x + ∂ g x - a t ∂ x   . ∂ x ∂ x

E isso foi nada mais do que aplicar a regra da cadeia :D coloquei o d x d x só pra não parecer muito passo voodoo, mas na real sabemos que a derivada de x em relação a x é 1!

Agora fazemos a mesma coisa, derivando em relação a x de novo:

u x x x , t = ∂ ∂ x ∂ f x + a t ∂ x   . 1 + ∂ ∂ x ∂ g x - a t ∂ x   . 1

u x x x , t = f ' ' x + a t + g ' ' x - a t

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Beleza, agora vamos encontrar as outras derivadas parciais, em relação a t :

u x , t = f x + a t + g x - a t

u t x , t = ∂ f x + a t ∂ t   . a + ∂ g x - a t ∂ t   . ( - a )

u t x , t = a f ' x + a t - a g ' x - a t

E como a derivada de a t em relação a t é a ,

u t x , t = a f ' x + a t - g ' x - a t

E derivando novamente,

u t t x , t = a f ' ' x + a t a - g ' ' x - a t ( - a )

u t t x , t = a 2 f ' ' x + a t   + g ' ' x - a t

Passo 3

Bom, se tivermos derivado certo, o que ele disse no enunciado tem que valer! Então vamos ver, se pegamos as derivadas parciais em relação a x e em relação a t , devemos verificar que:

u t t = a 2 u x x

Bom, temos que:

u t t x , t = a 2 f ' ' x + a t   + g ' ' x - a t

E temos que:

u x x x , t = f ' ' x + a t + g ' ' x - a t

Então, substituindo:

u t t = a 2 u x x

a 2 f ' ' x + a t   + g ' ' x - a t = a 2 f ' ' x + a t + g ' ' x - a t

Então, mostramos que satisfaz.

Resposta

  a 2 u x x x , t   = a 2 f ' ' x + a t + g ' ' x - a t = u t t x , t

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