Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais de Ordem Superior

UFRJ, Cálculo 2, P2 2018.1, questão 10

Será que existe uma função continuamente diferenciável z = f ( x , y ) cujas derivadas parciais sejam

∂ f ∂ x = x + 4 y

∂ f ∂ y = 3 x - y

a NÃO, pois se m = ∂ f ∂ x ( x 0 , y 0 ) e n = ∂ f ∂ y ( x 0 , y 0 ) então deveria valer m n = - 1 para todo x 0 , y 0 , o que é falso.

b NÃO, uma vez que ∂ 2 f ∂ x ∂ y ≠ ∂ 2 f ∂ y ∂ x

c NÃO, pois ∂ 2 f ∂ x 2 = 1 e ∂ 2 f ∂ y 2 = - 1 , o que não ocorre para funções polinomiais

d SIM, pois uma função z = f ( x , y ) possui dois graus de liberdade, definidos pelas variáveis x e y . Esses dois graus de liberdade geram dois graus de liberdade para as derivadas parciais.

e SIM, bastando para isso ajustar as constantes de integração em ∫ ∂ f ∂ x   d x e em ∫ ∂ f ∂ y   d y

Passo 1

Quando eu li as opções dessa questão eu fiquei tipo: WTF????

Vou contar pra você como eu fiz pra resolver isso.

Dentre todas elas, a única que remeteu a algo que eu saiba em relação a derivadas parciais foi a letra b ...

Daí eu falei, beleza, vou tentar verificar se isso é verdade mesmo.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos verificar juntos:

A derivada parcial em relação a x é

∂ f ∂ x = x + 4 y

E a derivada parcial em relação a y   é

∂ f ∂ y = 3 x - y

Vamos fazer as derivadas parciais mistas disso aí.

f x y = 3

f y x = 4

OWWW, mas que negócio é esse? Deu diferente, mas o enunciado disse que a função deveria ser continuamente diferenciável. Então isso aí tinha que dar igual.

E assim eu conclui que a letra b tava me falando a verdade: não dá pra existir uma função continuamente diferenciável se as derivadas parciais mistas dela forem diferentes. Fui olhar no gabarito e pimba! Resposta certa, uhul!

Resposta

Letra b

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