Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais de Ordem Superior

Verifique se a função

f x , y = ln ⁡ x 2 + y 2

Satisfaz a equação de Laplace

f x x + f y y = 0

Passo 1

Bom, nessa questão não tem muito mistério. É só a gente calcular as derivadas segundas em relação a x e y da função e ver se a soma delas dá zero.

Pra calcular as derivadas segundas precisamos, pasmem, das derivadas primeiras. Assim, calculando:

f x = 1 x 2 + y 2 ∙ 2 x 2 x 2 + y 2

f x = x x 2 + y 2

E

f y = 1 x 2 + y 2 ∙ 2 y 2 x 2 + y 2

f y = y x 2 + y 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Derivando novamente, as derivadas segundas vão ser, usando a regra do quociente:

f x x = 1 x 2 + y 2 - 2 x . x x 2 + y 2 2

f x x = y 2 - x 2 x 2 + y 2 2

E

f y y = 1 x 2 + y 2 - 2 y . y x 2 + y 2 2

f y y = x 2 - y 2 x 2 + y 2 2

Passo 3

Agora vamos somar as duas:

f x x + f y y = y 2 - x 2 x 2 + y 2 2 + x 2 - y 2 x 2 + y 2 2 = 0

Ou seja, f satisfaz a equação de Laplace.

Resposta

S i m .

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas