Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais de Ordem Superior

UFF, Cálculo IIB, Listas GMA, Lista 4, exercício 4

Verifique se a função satisfaz a equação de Laplace:

z = f x , y = x 2 - y ²

Passo 1

Uma função

z = f ( x 1 , … . , x n )

Satisfaz a equação de Laplace se

∂ 2 z ∂ x 1 2 + ∂ 2 z ∂ x 2 2 + … + ∂ 2 z ∂ x n 2 = 0

Assim, o que temos que fazer é calcular as derivadas parciais de segunda ordem dessa função e ver se somando tudo, dá zero. Bora lá então.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Começando pela derivada parcial em relação a x .

A derivada primeira é

∂ z ∂ x = 2 x

E a derivada segunda é

∂ 2 z ∂ x ² = 2

Passo 3

Agora vamos para derivada parcial em relação a y .

Pela regra da cadeia, temos que a derivada primeira é

∂ z ∂ y = - 2 y

E a derivada segunda é

∂ 2 z ∂ y ² = - 2

Passo 4

Somando as derivadas segundas

∂ 2 z ∂ x ² + ∂ 2 z ∂ y ² = 2 - 2 = 0

Ou seja, a função satisfaz a equação de Laplace, pois a soma de suas derivadas parciais de segunda ordem é igual a zero.

Resposta

Satisfaz.

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas