Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais de Ordem Superior

UFF, Cálculo IIB, Listas GMA, Lista 4, exercício 6

Verifique se a função satisfaz a equação de Laplace:

z = f x , y , z = e x sen ⁡ y + e y sen ⁡ z

Passo 1

Uma função

z = f ( x 1 , … . , x n )

Satisfaz a equação de Laplace se

∂ 2 z ∂ x 1 2 + ∂ 2 z ∂ x 2 2 + … + ∂ 2 z ∂ x n 2 = 0

Assim, o que temos que fazer é calcular as derivadas parciais de segunda ordem dessa função e ver se somando tudo, dá zero. Bora lá então.

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Passo 2

Começando pela derivada parcial em relação a x .

A derivada primeira é

∂ z ∂ x = e x sen ⁡ y

E a derivada segunda é

∂ 2 z ∂ x ² = e x sen ⁡ y

Passo 3

Agora vamos para derivada parcial em relação a y .

A derivada primeira é

∂ z ∂ y = e x cos ⁡ y + e y sen ⁡ z

E a derivada segunda é

∂ 2 z ∂ y ² = - e x sen ⁡ y + e y sen ⁡ z

Passo 4

Por fim, temos a derivada parcial em relação a z .

A derivada primeira é

∂ z ∂ z = e y cos ⁡ z

E a derivada segunda é

∂ 2 z ∂ z ² = - e y sen ⁡ z

Passo 5

Somando as derivadas segundas

∂ 2 z ∂ x ² + ∂ 2 z ∂ y ² + ∂ 2 z ∂ z ² = e x sen ⁡ y - e x sen ⁡ y + e y sen ⁡ z - e y sen ⁡ z = 0

Ou seja, a função satisfaz a equação de Laplace, pois a soma de suas derivadas parciais de segunda ordem é igual a zero.

Resposta

Satisfaz

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