Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais de Ordem Superior

Verifique se a função satisfaz a equação de Laplace:

z = f x , y =   ln ⁡ x y

Passo 1

Uma função

z = f x 1 , … . , x n

Satisfaz a equação de Laplace se

∂ ² z ∂ x 1 2 + ∂ ² z ∂ x 2 2 + … +   ∂ ² z ∂ x n 2 = 0

Assim, o que temos que fazer é calcular as derivadas parciais de segunda ordem dessa função e ver se somando tudo, dá zero. Bora lá então.

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Passo 2

Começando pela derivada parcial em relação a x .

Pela regra da cadeia, temos que a derivada primeira é

∂ z ∂ x =   1 x y . 1 y = 1 x

E a derivada segunda é

∂ ² z ∂ x ² =   - 1 x ²

Passo 3

Agora vamos para derivada parcial em relação a y .

Pela regra da cadeia, temos que a derivada primeira é

∂ z ∂ y =   1 x y . - x y ² = - 1 y

E a derivada segunda é

∂ ² z ∂ y ² =   1 y ²

Passo 4

Somando as derivadas segundas

∂ ² z ∂ x ² + ∂ ² z ∂ y ² = - 1 x 2 + 1 y 2 =   x 2 - y ² x ² y 2  

Pelo que encontramos, a nossa função só vai satisfazer a equação de Laplace quando:

x 2 = y 2

y =   ±   x

Ah, lembrando que o ponto x , y = 0,0 não está incluído pois o nosso denominador não pode zerar!

Resposta

y =   ±   x   ,   x , y ≠ 0,0

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