Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais de Ordem Superior

UFF, Cálculo IIB, Listas GMA, Lista 4, exercício 9

Verifique que

v = sen ⁡ k x ∙ sen ⁡ a k   t

Satisfaz a equação da onda

∂ 2 v ∂ t 2 = a 2 ∂ 2 v ∂ x 2

Passo 1

Para verificar se nossa função v satisfaz a equação de onda, temo que calcular suas derivadas parciais de segunda ordem.

Começando pela derivada parcial em relação a x .

∂ v ∂ x = cos ⁡ k x . k . sen ⁡ ( a k   t ) = k cos ⁡ k x ∙ sen ⁡ a k   t

∂ 2 v ∂ x 2 = - k sen ⁡ k x . k . sen ⁡ a k   t = - k 2 sen ⁡ k x ∙ sen ⁡ a k   t

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos para a derivada parcial em relação a t .

∂ v ∂ t = sen ⁡ k x . cos ⁡ ( a k   t ) . a k = a k sen ⁡ ( k x ) ∙ c o s   ( a k   t )

∂ 2 v ∂ t 2 = a k sen ⁡ k x . ( - sen ⁡ a k   t ) . a k = - a 2 k 2 sen ⁡ k x ∙ sen ⁡ ( a k   t )

Passo 3

-

Verificando se satisfaz a equação de onda:

∂ 2 v ∂ t 2 = a 2 ∂ 2 v ∂ x 2

- a 2 k 2 sen ⁡ k x ∙ sen ⁡ a k   t = a 2 - k 2 sen ⁡ k x ∙ sen ⁡ a k   t

- a 2 k 2 sen ⁡ k x ∙ sen ⁡ a k   t = - a 2 k 2 sen ⁡ k x ∙ sen ⁡ a k   t

Pronto, satisfaz

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