Exercícios Resolvidos de Diferencial – Valor Relativo

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Enunciado

A altura e o raio de um cilindro reto são iguais, de modo que o volume desse cilindro é dado por V = π h ³ . O volume deve ser calculado com erro não maior que 1% em relação ao valor real. Determine, aproximadamente, o maior erro que pode ser tolerado na medida de h , expressando-o como porcentagem de h .

Passo 1

Sabemos que

V = π h 3

E que o erro percentual do volume é menor que 1 % , ou seja

Δ V V = 0,01

E aí ele quer saber o maior erro que pode ser tolerado na medida de h para que o erro relativo seja esse aí.

Passo 2

O erro do volume nada mais é do que a variação do volume, ou seja, Δ V . Além disso, sabemos que:

Δ A ≅ d A

Então só precisamos achar o diferencial dessa função da volume.

V = π h 3

Assim, derivando:

d V d h = 3 π h 2

Passando d h para direita:

d V = 3 π h 2 d h

Passo 3

Pela aproximação por diferencial, sabemos que:

Δ V ≅ d V ; Δ h ≅ d h

Logo:

Δ V = 3 π h 2 Δ h

Passo 4

Sabemos que

Δ V V = 0,01

Δ V = 0,01 V = 0,01 π h 3

Assim

Δ V = 3 π h 2 Δ h

0,01 π h 3 = 3 π h 2 Δ h

Δ h = 0,01 π h 3 3 π h 2

Δ h = 0,01 h 3

Δ h h = 0,01 3 = 1 3 %

Resposta

1 3 %

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