Exercícios Resolvidos de Diferencial – Valor Relativo

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Enunciado

Para as funções abaixo, calcule Δ y e d y para os valores de x e d x = Δ x dados:

y = 2 x ,   x = 4   e   d x = Δ x = 1

Passo 1

A diferencial de uma função y = f ( x ) é dada sempre por d y = f ' x d x

Logo, vamos ter que inicialmente derivar a função dada e depois substituir x pelo valor dado e aproximar d x = Δ x com o valor também dado pelo enunciado. Isso é feito para encontrar d y . Agora, para encontrar Δ y   precisamos lembrar da fórmula:

Δ y = f x + Δ x - f ( x )

Passo 2

Logo, fazendo a derivada de f x = y

f x = 2 x = 2 x - 1

f ' x = d y = - 2 x - 2 = - 2 x 2

Portanto a diferencia é dada por:

d y = - 2 x 2 d x = - 2 x 2 Δ x

Substituindo d x = Δ x = 1 e x = 4 , temos:

d y = - 2 4 2 1 = - 1 8

Passo 3

Para encontrar Δ y = f x + Δ x - f ( x )

Δ y = f 4 + 1 - f 4

Δ y = f 5 - f 4

Portanto, o que a gente precisa fazer é agora calcular os valores da função f ( x ) nesses valores mostrados acima.

f 5 = 2 5

f 4 = 2 4 = 1 2

Logo,

Δ y = 2 5 - 1 2 = 2 × 2 - 5 × 1 10 = - 0,1

Resposta

d y = - 1 8

Δ y = - 0,1

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