Exercícios Resolvidos de Diferencial – Valor Relativo

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Enunciado

Uma menina muito curiosa resolveu calcular a área superficial e o volume de uma corda bem grossa. Sabendo que a corda tinha comprimento suficiente, e exato, para envolver um bambolê de 0,5   m de raio e que a corda tinha raio exato de 1   c m . O erro possível de cálculo do raio da corda é de 0,1   c m Estime:

  1. O erro e o erro percentual do cálculo da área superficial da corda
  2. O erro e o erro percentual do cálculo do volume da corda

OBS: A menina sabe que, independente de calcular como ela fez esse cálculo, a proporção entre o raio do bambolê e da corda é fixa.

Passo 1

Quando a gente vê um OBS numa questão, geralmente é pra gente ficar atento porque tem dica boa aí! Nesse caso, como a menina sabe a proporção, a gente precisa saber também!

Ela não sabe as medidas exatas dos raios, nós sabemos. Se o raio R do bambolê é 0,5 m = 50   c m e o raio r da corda é 1   c m , então:

R = 50 r

Ta, mas e daí? Bem, a gente vai poder usar essa proporção pra escrever o volume e a área superficial da corda em função de uma variável só. Quer ver? Se a corda é um cilindro, temos que sua altura vale:

H = 2 π R = 100 π r

Que nada mais é do que o comprimento do bambolê. E a área da base desse cilindro vai ser então:

A = π r 2

Show de bola, calculamos então o volume e a área superficial por:

V = A H

S = 2 A + 2 π r H

O que fica:

V r = π r 2 ∙ 100 π r = 100   π 2   r 3

S r = 2 π r 2 + 2 π r   100 π r = 2 π r 2 1 +   100 π

Passo 2

Agora vamos calcular o diferencial das funções de r que vimos acima. Saca só:

d V d r = 300   π 2   r 2

d S d r = 4 π r 1 +   100 π

E passando por outro lado o d r :

d V = 300   π 2   r 2   d r

d S = 4 π r 1 +   100 π   d r

Agora que temos o diferencial, sabemos, pela teoria, que podemos relacionar Δ S com d S e relacionar Δ V com d V . Δ S e Δ V vão ser o erro na conta. Assim:

Δ V ≅ d V

Δ S ≅ d S

Além disso, também sabemos que Δ r pode ser aproximado por d r . Ele deu a variação de r , então temos:

- 0,1   c m ≤ Δ r ≤ 0,1   c m

Esse é o intervalo do erro. Multiplicando isso por 4 π 1 +   100 π , vamos ter:

- 0,4 π 1 +   100 π ≤ 4 π Δ r 1 +   100 π ≤ 0,4 π 1 +   100 π

Assim, aquele cara do meio é d S :

- 0,4 π 1 +   100 π ≤ Δ S ≤ 0,4 π 1 +   100 π

Pro volume, basta então a gente multiplicar o intervalo de variação do erro do raio por 300   π 2   r 2 :

- 0,1   c m ≤ Δ r ≤ 0,1   c m

- 30   π 2   r 2   ≤ 300   π 2   r 2   Δ r ≤ 3 0   π 2   r 2  

- 30   π 2   r 2   ≤   Δ V ≤ 30   π 2   r 2  

Sendo que o valor de r ali dentro é o valor inicial, dado no enunciado, de 1   c m , logo:

- 30   π 2   ≤   Δ V ≤ 30   π 2  

Passo 3

Vamos agora achar o erro percentual dessas paradas. Para isso temos que achar o erro relativo, que é a mesma coisa

E r e l a t i v o = Δ S S

E r e l a t i v o = Δ V V

Então precisamos achar o valor de S no valor inicial de r :

S 1 c m = 2 π 1 2 1 +   100 π

S = 2 π 1 +   100 π

E o valor de V no valor inicial de r também:

V 1   c m = 100   π 2   1 3

V = 100   π 2

Já sabemos o intervalo de Δ S , então basta dividir geral nesse intervalo por S , que achamos o erro relativo:

- 0,4 π 1 +   100 π ≤ Δ S ≤ 0,4 π 1 +   100 π

- 0,4 π 1 +   100 π 2 π 1 +   100 π ≤ Δ S S ≤ 0,4 π 1 +   100 π 2 π 1 +   100 π

- 0,4 2 ≤ Δ S S ≤ 0,4 2

- 0,2 ≤ Δ S S ≤ 0,2

Passando para porcentagem e substituindo Δ S / S por Δ S % vamos ter o erro percentual variando entre:

- 20 % ≤ Δ S % ≤ 20 %

Agora, pro cálculo do volume, fazemos a mesma coisa, beleza? Já sabemos o intervalo de Δ V , então basta dividir geral nesse intervalo por V , que achamos o erro relativo:

- 30   π 2   ≤   Δ V ≤ 30   π 2  

- 30   π 2 100   π 2   ≤ Δ V V ≤ 30   π 2 100   π 2  

- 0,3   ≤ Δ V V ≤ 0,3  

Passando para porcentagem e substituindo Δ V / V por Δ V % vamos ter o erro percentual variando entre:

- 3 0 % ≤ Δ V % ≤ 3 0 %

Resposta

  1. - 0,4 π 1 +   100 π ≤ Δ S ≤ 0,4 π 1 +   100 π

    - 20 % ≤ Δ S % ≤ 20 %

- 30   π 2   ≤   Δ V ≤ 30   π 2  

- 30 % ≤ Δ V % ≤ 30 %

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