Exercícios Resolvidos de Diferencial – Valor Relativo

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Enunciado

Um professor um pouco pirado entregou pra seus alunos o gráfico da curva x 2 - 9 e pediu para que calculassem a área abaixo do gráfico entre 3 e 5 . Os alunos optaram por calcular essa área usando um triângulo retângulo cuja hipotenusa tangenciasse a curva. Abaixo, uma representação de como esse triângulo muda em função do ponto de tangência:

Sabendo que os alunos escolheram como ponto de tangência x = 4 e que o erro na marcação desse ponto é de ± 0,1 calcule o erro percentual no cálculo de A . Depois, calcule também o mesmo erro em relação à área real abaixo da curva.

Passo 1

Bem, aqui ele quer um aproximação do erro de A e o erro percentual desse mesmo A . A nossa dificuldade nessa questão vai ser achar a expressão de A em função de uma variável pra podermos variar. De qualquer forma, a área do retângulo vai ser:

A = b . h 2

Mas quem vai ser a base e a altura? Pô, o truque pra tirar de letra quem vai ser b e h é lembrar que a hipotenusa desse triângulo é uma reta tangente, e retas tangentes tem a seguinte expressão:

y - y 0 = m x - x 0

Onde x 0 , y 0 = x 0 , f x 0 é o ponto de tangência na curva f x = x 2 - 9 . Escolhendo um ponto de tangência qualquer a , f a , vamos ficar com:

y - y 0 = m x - x 0

y = h x = m x - x 0 + y 0

h x = m x - a + f a

Esse m nada mais é do que a inclinação da reta tangente no ponto de tangência, lembra? Então a gente calcula ele tranquilin assim ó:

m = f ' a

f x = x 2 - 9 → f ' x = 2 x

m = f ' a = 2 a  

E a equação da reta tangente é reescrita para:

h x = 2 a x - a + a 2 - 9

h x = 2 a x - a 2 - 9

Como a altura desse triângulo está sempre, pela figura, em cima de x = 5 , temos que:

h = - a 2 + 10 a - 9

Show, falta achar a base agora. Se a gente olhar pro esquema do enunciado vemos direitinho que a base vai ser sempre 5 “menos algo”. E olha só! Não é que esse “algo” vai ser sempre o valor de x em que a reta tangente toca o eixo x ? Sendo assim, a base vai ser:

h x = 2 a x - a 2 - 9 = 0

2 a x = a 2 + 9

x = a 2 + 9 2 a

A base vai ser então:

b = 5 - a 2 - 9 2 a

E a área vai ser:

A = b . h 2

A = - a 2 + 10 a - 9 . 5 - a 2 - 9 2 a 2

A = 1 2 a 3 2 - 10 a 2 + 59 a + 81 2 a - 90

A = a 3 4 - 5 a 2 + 59 a 2 + 81 4 a - 45

Passo 2

Nesse passo, vamos fazer o diferencial, beleza? Já que A = f a , o diferencial vai ficar:

d A d a = 3 a 2 4 - 10 a + 59 2 - 81 4 a 2

Passando d a pro outro lado:

d A = 3 a 2 4 - 10 a + 59 2 - 81 4 a 2 d a

Agora que temos o diferencial, sabemos, pela teoria, que podemos relacionar Δ A com d A , e Δ A vai ser o erro na conta. Assim:

Δ A ≅ d A

Além disso, também sabemos que Δ a pode ser aproximado por d a . Ele deu a variação de a , então temos:

- 0,1 ≤ Δ a ≤ 0,1

Multiplicando isso por 3 a 2 4 - 10 a + 59 2 - 81 4 a 2 , vamos ter:

- 0,1 3 a 2 4 - 10 a + 59 2 - 81 4 a 2 ≤ 3 a 2 4 - 10 a + 59 2 - 81 4 a 2 Δ a ≤ 0,1 3 a 2 4 - 10 a + 59 2 - 81 4 a 2

Assim, aquele cara do meio é d A :

- 0,1 3 a 2 4 - 10 a + 59 2 - 81 4 a 2 ≤ Δ A ≤ 0,1 3 a 2 4 - 10 a + 59 2 - 81 4 a 2

Ele disse o valor de a , que vai ser 4 , segundo o enunciado, a gente substitui:

- 0,1 3 . 4.4 4 - 10 . 4 + 59 2 - 81 4 . 4.4 ≤ Δ A ≤ 0,1 3.4 . 4 4 - 10.4 + 59 2 - 81 4.4 . 4

Assim, temos:

- 0 , 0 234375 ≤ Δ A ≤ 0 , 0 234375

Passo 3

Vamos agora achar o erro percentual dessa parada, para isso temos que achar o erro relativo, que é a mesma coisa

E r e l a t i v o = Δ A A

Então precisamos achar o valor de A no valor inicial de a , que é 4

A 4 = 4 3 4 - 5 . 4 2 + 59 . 4 2 + 81 4 . 4 - 45 = 14,0625

Já sabemos o intervalo de Δ A , então basta dividir geral nesse intervalo por A , que achamos o erro relativo

- 0 , 0 234375 ≤ Δ A ≤ 0 , 0 234375

- 0 , 0 234375 14,0625 ≤ Δ A A ≤ 0 , 0 234375 14,0625

- 0 , 0 0 1 6 ¯ ≤ Δ A A ≤ 0 , 0 01 6 ¯

Passando para porcentagem e substituindo Δ A / A por Δ A % vamos ter o erro percentual variando entre:

- 0 , 1 6 ¯ ≤ Δ A % ≤ 0 , 1 6 ¯

Graficamente da pra ver que a área desse triângulo não é muito diferente da área abaixo da curva, saca só:

Se usássemos como A no calculo do erro relativo a área real, teríamos que fazer:

A = ∫ 3 5 x 2 - 9   d x

A =   x 3 3 - 9 x x = 3 x = 5

A = 5 3 3 - 9.5 - 3 3 3 + 9.3 =   14 , 6 ¯

O erro relativo seria:

- 0 , 0 234375 14 , 6 ¯ ≤ Δ A A ≤ 0 , 0 234375 14 , 6 ¯

- 0,0 0 15980113 63 ¯ ≤ Δ A A ≤ 0,0 0 15980113 63 ¯

E por fim:

- 0 , 1 59 ≤ Δ A % ≤ 0 , 1 59

Resposta

- 0 , 0 234375 ≤ Δ A ≤ 0 , 0 234375

Em relação à área calculada pelos alunos:

- 0,1 6 ¯ ≤ Δ A % ≤ 0,1 6 ¯

Em relação à área real:

- 0,159 ≤ Δ A % ≤ 0,159

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