Exercícios Resolvidos de Diferencial – Valor Relativo

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Enunciado

Uma piscina no formato de um trapézio isósceles tem sua área dada pela fórmula A = b 2 tan ⁡ θ   + b . H . Abaixo, uma representação dessa piscina:

Use diferenciais para aproximar o erro no cálculo de A se H = 10   m (exatamente), b = 8   m (exatamente) e θ = 6 0 ° com erro possível de ± 1 ° .

Além disso, determine o erro percentual no cálculo de A .

Passo 1

Bem, aqui ele quer um aproximação do erro de A e o erro percentual desse mesmo A . Vamos começar achando o erro de A , para isso vamos achar seu diferencial em relação a θ :

A = b 2 tan ⁡ θ   + b . H

Podemos trocar o valor de H e de b nessa fórmula já que ele é constante:

A = 80 2 tan ⁡ θ   + 80

A = 40 tan ⁡ θ   + 80

O seu diferencial vai ser:

d A d θ = 40 tan ⁡ θ   + 80 ' = 40 tan ⁡ θ   '

d A d θ = 40   - d tan ⁡ θ d θ tan 2 ⁡ θ   = - 40   sec 2 ⁡ θ tan 2 ⁡ θ  

d A d θ = - 40   1 cos 2 ⁡ θ sin 2 ⁡ θ cos 2 ⁡ θ   = - 40 sin 2 ⁡ θ

Por fim:

d A d θ = - 40 sin 2 ⁡ θ

Passando d θ para direita:

d A = - 40 sin 2 ⁡ θ d θ

Passo 2

Agora que temos o diferencial, sabemos, pela teoria, que podemos relacionar Δ A com d A , e Δ A vai ser o erro na conta. Assim:

Δ A ≅ d A

Além disso, também sabemos que Δ θ pode ser aproximado por d θ . Ele deu a variação de θ , então temos:

- 1 ° ≤ Δ θ ≤ 1 °

Esse é o intervalo do erro, vamos passar esses valores dos ângulos para radiano, porque sempre que trabalhamos com ângulo precisamos usar radianos:

2 π -   360 ° X -   1 °

360 ° ∙ X =   1 °   ∙   2 π

X = π 180   r a d i a n o s

Assim vamos ter:

- π 180 ≤ Δ θ ≤ π 180

Multiplicando isso por - 40 sin 2 ⁡ θ , vamos ter:

π 180 40 sin 2 ⁡ θ ≥ - 40 sin 2 ⁡ θ Δ θ ≥ - π 180 40 sin 2 ⁡ θ

- π 9 2 sin 2 ⁡ θ ≤ - 40 sin 2 ⁡ θ Δ θ ≤ π 9 2 sin 2 ⁡ θ

Assim, aquele cara do meio é d A :

- π 9 2 sin 2 ⁡ θ ≤ Δ A ≤ π 9 2 sin 2 ⁡ θ

Ele disse o valor de θ , que vai ser 6 0 ° , vamos passar isso para radianos:

2 π -   360 ° X -   60 °

360 ° ∙ X =   60 °   ∙   2 π

X = 120 π 360 = π 3   r a d i a n o s

Assim, temos:

- π 9 2 sin 2 ⁡ π 3 ≤ Δ A ≤ π 9 2 sin 2 ⁡ π 3

- π 9 2 3 2 2 ≤ Δ A ≤ π 9 2 3 2 2

- π 9 2 3 4 ≤ Δ A ≤ π 9 2 3 4

- 8 π 27 ≤ Δ A ≤ 8 π 27

Ufa, achamos o intervalo do erro dessa área. Vamos recapitular o que fizemos. Achamos a fórmula da diferencial de A , que vai ser o erro que ele está querendo. Depois nos achamos o intervalo que o erro de θ vai estar. Depois fizemos umas contas para chegar no intervalo de Δ A , que é só ir multiplicando a função no valor de θ que for o ponto inicial, ou ponto central.

E pronto temos o nosso intervalo.

Passo 3

Vamos agora achar o erro percentual dessa parada, para isso temos que achar o erro relativo, que é a mesma coisa

E r e l a t i v o = Δ A A

Então precisamos achar o valor de A no valor inicial de θ

A 6 0 ° = 40 tan ⁡ π 3   + 80

A = 40 3   + 80 = 40 3 3   + 80 = 40 3 + 240 3

A 0 = 40 3 + 6 3 = 40 3 + 6 3

Já sabemos o intervalo de Δ A , então basta dividir geral nesse intervalo por A , que achamos o erro relativo

- 8 π 27 ≤ Δ A ≤ 8 π 27

- 8 π 27 40 3 + 6 3 ≤ Δ A A ≤ 8 π 27 40 3 + 6 3

- 8 π 27 3 40   3 + 6 ≤ Δ A A ≤ 8 π 27 3 40   3 + 6

- π 9 1 5   3 + 6 ≤ Δ A A ≤ π 9 1 5   3 + 6

- π 45   3 + 6 ≤ Δ A A ≤ π 45   3 + 6

Fazendo essa conta na calculadora vamos ter:

- 0 , 00902906 ≤ Δ A A ≤ 0,00902906

Passando para porcentagem e substituindo Δ A / A por Δ A % vamos ter o erro percentual variando entre:

- 0 , 902906 % ≤ Δ A % ≤ 0 , 902906 %

Resposta

- 8 π 27 ≤ Δ A ≤ 8 π 27

- 0,902906 % ≤ Δ A % ≤ 0,902906 %

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