Exercícios Resolvidos de Diferencial – Valor Relativo

Elaboração Própria

O lado de um quadrado mede aproximadamente 10   m , com erro possível de ± 0,1   m .

  1. Use diferenciais para estimar o erro na área calculada.
  2. Estime o erro percentual no lado e na área.

Passo 1

a)

O erro da área nada mais é do que a variação da área, ou seja, Δ A . Além disso, vimos na teoria que:

Δ A ≅ d A

Então só precisamos achar o diferencial dessa função da área. Vamos escrever a área A em função do lado l :

A = l 2

Assim, derivando:

d A d l = 2 l

Passando d l para direita:

d A = 2 l d l

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Pela aproximação por diferencial, sabemos que:

Δ A ≅ d A ; Δ l ≅ d l

Logo:

Δ A = 2 l Δ l

Agora que temos o diferencial da área, e que vimos que ela vai ser o erro, vamos calcular no intervalo que ele deu. Ele disse que o erro do lado vai entre - 0,1   m e 0,1   m então:

- 0,1 ≤ Δ l ≤ 0,1

Multiplicando por 2 l para dar o diferencial de A ali no meio, temos:

- 0,2 l ≤ 2 l Δ l ≤ 0,2 l

- 0,2 l ≤ Δ A ≤ 0,2 l

Ele deu o ponto inicial do lado, que vai ser 10   m , então:

- 0,2 ∙ 10 ≤ Δ A ≤ 0,2 ∙ 10

- 2   m 2 ≤ Δ A ≤ 2   m 2

Esse vai ser o erro da área.

Passo 3

b)

Vamos achar agora os erros percentuais. O erro percentual nada mais é que o erro relativo que vimos na teoria.

Primeiro o erro do lado, para isso temos que dividir d l por l . Já vimos que ele quer esse erro percentual com l = 10   m , e:

- 0,1 ≤ Δ l ≤ 0,1

Assim:

- 0,1 10 ≤ d l l ≤ 0,1 10

E vamos ter:

- 0,01 ≤ Δ l l ≤ 0,01

Colocando em porcentagem e substituindo Δ l / l por Δ l % :

- 1 % ≤ Δ l % ≤ 1 %

Passo 4

Vamos agora para o erro percentual da área, primeiro temos que achar a área para l = 10 :

A = 100   m 2

E o erro percentual da área vai ficar:

- 2 100 ≤ Δ A A ≤ 2 100

- 0,02 ≤ Δ A A ≤ 0,02

Colocando isso em porcentagem e substituindo Δ A / A por Δ A % :

- 2 % ≤ Δ A % ≤ 2 %

E achamos os erros percentuais.

Resposta

a)

- 2   m 2 ≤ Δ A ≤ 2   m 2

b)

- 1 % ≤ Δ l % ≤ 1 %

- 2 % ≤ Δ A % ≤ 2 %

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