Exercícios Resolvidos de Diferencial – Valor Relativo

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Enunciado

Um empresário encomendou de um fabricante de equipamentos de aço uma esfera de raio 12cm. O fabricante entregou-lhe uma esfera com as seguintes informações: “esfera de aço polido com raio r = 12 ± 0,06 c m ”. Qual a margem aproximadamente de erros do volume e da área da esfera recebida.

Passo 1

Bem, nesse problema precisamos lembrar que o erro aproximado pode ser dado pela fórmula Δ W W onde W é uma medida que tem erro, no nosso caso as medidas serão volume e área que tem o erro do raio relacionado.

Então vamos começar tendo que calcular os valores de área e volume para os valores extremos que os raios das esferas podem ter, ou seja, 12 + 0,06 e 12 - 0,06

r s = 12 + 0,06

r i = 12 - 0,06

Lembrando que a fórmula da área e volume da esfera é:

A e s f e r a = 4 π R 2

V e s f e r a = 4 3 π R 3

Passo 2

Calculando os valores de área e volume com os valores extremos de raio, temos:

A s = 4 π 12 + 0,06 2 = 1827,69   c m 2

V s = 4 3 π 12 + 0,06 3 = 7347,35   c m 3

A i = 4 π 12 - 0,06 2 = 1791,51   c m 2

V i = 4 3 π 12 - 0,06 3 = 7130,20   c m 3

E agora, calculamos os valores dos volumes e áreas em 12 cm de raio, que seria nosso valor central.

A = 4 π 12 2 = 1809,557   c m 2

V = 4 3 π 12 3 = 7238,229   c m 3

Logo, o erro associado tem que ser o desvio que temos dos valores de volume e área quando em relação aos seus valores centrais.

A - A i = 1809,557 - 1791,51 = 18,047

A s - A = 1827,69 - 1809,557 = 18,133

Fazendo um valor médio, temos

Δ A = ± 18,133 + 18,047 2 = ±   18,09   c m 2

Passo 3

Vamos agora analogamente para o volume

V = 7238,229   c m 3

V s = 7347,35   c m 3

V i = 7130,20   c m 3

V - V i = 7238,229 - 7130,20 = 108,029   c m 3

V s - V = 7347,35   - 7 238,229 = 109,06   c m 3

Fazendo um valor médio, temos

Δ V = ± 108,029 + 109,06 2 ≈ ±   109   c m 3

Resposta

Δ A = ± 18,08   c m 2

Δ V = ± 109   c m 3

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