Exercícios Resolvidos de Diferencial – Valor Relativo

Elaboração Própria

A área de um triângulo retângulo com uma hipotenusa H é calculada pela fórmula A = 1 4 H 2 sen 2 θ , onde θ é um dos ângulos agudos. Use diferenciais para aproximar o erro no cálculo de A se H = 4   c m (exatamente) e θ = 30 ° com erro possível de ± 15 ' .

Além disso, determine o erro percentual no cálculo de A .

Passo 1

Bem, aqui ele quer um aproximação do erro de A e o erro percentual desse mesmo A . Vamos começar achando o erro de A , para isso vamos achar seu diferencial em relação a θ :

A = H 2 4 sen 2 θ

Podemos trocar o valor de H nessa fórmula já que ele é constante:

A = 4 2 4 sen 2 θ

A = 4 sen 2 θ

O seu diferencial vai ser:

d A d θ = 4 cos 2 θ 2

d A d θ = 8 cos 2 θ

Passando d θ para direita:

d A = 8 cos 2 θ d θ

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora que temos o diferencial, sabemos, pela teoria, que podemos relacionar Δ A com d A , e Δ A vai ser o erro na conta. Assim:

Δ A d A

Além disso, também sabemos que Δ θ pode ser aproximado por d θ . Ele deu a variação de θ , então temos:

- 15 ' Δ θ 15 '

Esse é o intervalo do erro, vamos passar esses valores dos ângulos para radiano, porque sempre que trabalhamos com ângulo precisamos usar radianos:

15 ' = 1 4 ° = 1 / 4 π 180 = π 720

Assim vamos ter:

- π 720 Δ θ π 720

Multiplicando isso por 8 cos 2 θ , vamos ter:

- π 720 8 cos 2 θ 8 cos 2 θ Δ θ π 720 8 cos 2 θ

Assim, aquele cara do meio é d A :

- π cos 2 θ 90 Δ A π cos 2 θ 90

Ele disse o valor de θ , que vai ser 30 ° , vamos passar isso para radianos:

30 ° = 30 π 180 = π 6

Assim, temos:

- π cos π 3 90 Δ A π cos π 3 90

- π 2 90 Δ A π 2 90

- π 180 Δ A π 180

Ufa, achamos o intervalo do erro dessa área. Vamos recapitular o que fizemos. Achamos a fórmula da diferencial de A , que vai ser o erro que ele está querendo. Depois nos achamos o intervalo que o erro de θ vai estar. Depois fizemos umas contas para chegar no intervalo de Δ A , que é só ir multiplicando a função no valor de θ que for o ponto inicial, ou ponto central.

E pronto temos o nosso intervalo.

Passo 3

Vamos agora achar o erro percentual dessa parada, para isso temos que achar o erro relativo, que é a mesma coisa

E r e l a t i v o = Δ A A

Então precisamos achar o valor de A no valor inicial de θ

A 30 ° = 4 sen 60 °

A = 4 3 2 = 2 3

Já sabemos o intervalo de Δ A , então basta dividir geral nesse intervalo por A , que achamos o erro relativo

- π 180 2 3 Δ A A π 180 2 3

Fazendo essa conta na calculadora vamos ter:

- 0,00160375 Δ A A 0,00160375

Passando para porcentagem e substituindo Δ A / A por Δ A % vamos ter o erro percentual variando entre:

- 0,160375 % Δ A % 0,160375 %

Resposta

- π 180 Δ A π 180

- 0,160375 % Δ A % 0,160375 %

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