Exercícios Resolvidos de Difusão em Regime Transiente

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Enunciado

Considere o método de endurecimento do aço obtido a partir de processo de difusão de carbono (cementação). O aço a ser cementado apresenta 0,25   w t   % de carbono na composição nominal, e será tratado na temperatura de 9500 ° C . A atmosfera do forno de cementação apresenta potencial de carbono de 1,2   w t   % . Calcule o tempo necessário para que o aço tenha 0,8   w t   % de carbono a 0,5   m m de profundidade. O coeficiente de difusão para o carbono no ferro é de 1,6 ⋅ 10 - 11   m ² / s . A peça apresenta espessura semi-infinita.

Passo 1

Vamos resolver essa questão aí juntinhos? Partiu!

Bom, pra gente não se enrolar vamo começar anotando tudo o que foi dado, beleza?

  • C A ,   i = 0,25   w t   % C
  • C A x ,   t = 0,80   w t   % C
  • C A ,   s = 1,20   w t   % C
  • x = 0,50   m m   →   5 ⋅ 10 - 4   m
  • D A B = 1,6 ⋅ 10 - 11   m ² / s

Beleza! Quem a gente precisa encontrar aqui é o tempo, certo? Para isso a gente pode usar essa relação aqui, olha só:

C A x ,   t - C A ,   i C A ,   s - C A ,   i = 1 - e r f x 2 D A B ⋅ t

Substituindo nossos dados, ficamos com:

0,80 - 0,25 1,20 - 0,25 = 1 - e r f 5 ⋅ 10 - 4 2 1,6 ⋅ 10 - 11 ⋅ t

Vamos ficar com:

0,4210 = e r f 62,5 t

Vish! Deu ruim! O t , está dentro da função erro!

Relaxa! A gente pode fazer uma interpolação, ok? Vem comigo!

Passo 2

Precisamos achar um z , tal que e r f   z = 0,4210 , tranquilo?

Então vamos usar dois valores, um abaixo e outro acima pra gente descobrir quem será esse z , olha só:

z → e r f z

0,35 → 0,3794

z → 0,4210

0,40 → 0,4284

Interpolando vamos ter que:

z - 0,35 0,40 - 0,35 = 0,4210 - 0,3794 0,4284 - 0,3794

Teremos então:

z = 0,392

Show! Mas nosso z é tudo que estava dentro da função erro, certo? Então temos que:

62,5 t = z

Logo:

62,5 t = 0,392

Manipulando essa equação:

t = 62,5 0,392 2

O tempo será então:

t = 25400   s

ou

t ≈ 7   h o r a s

Uhul! Conseguimos!

Resposta

t ≈ 7   h o r a s

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