Exercícios Resolvidos de Difusão em Regime Transiente

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Enunciado

É feita a difusão de boro numa pastilha de silício durante 7   h a 1100 ° C . A pastilha de silício inicialmente é isenta de boro. Qual será a profundidade abaixo da superfície na qual a concentração em boro será de 10 17   á t o m o s / c m 3 , se a concentração de boro na superfície for mantida constante e igual a 10 18   á t o m o s / c m 3 ?

Dados:

  • Solução da 2ª Lei de Fick para difusão não estacionária para as condições de contorno do exercício:
  • C S   -   C x C S   -   C o = e r f x 2 D t

  • Coeficiente de difusão do B no Si a 1100 ° C : 4,0 ⋅ 10 - 13   c m 2 / s

Passo 1

E aí belezinha? Vamos resolver mais essa!

Olha o enunciado deu aquela ajuda, hein? Esses dados aí vão nos facilitar bastante!

Bom, vamo começar anotando tudo o que foi dado, show?

  • C S = 10 18   á t o m o s / c m 3
  • C x = 10 17   á t o m o s / c m 3
  • t = 7   h   → 25200   s
  • D = 4,0 ⋅ 10 - 13   c m ² / s

Olha só! O enunciado já deu até a fórmula pra gente usar, mas olhando rápido a gente pode achar que tá faltando o C o , né? Mas não tá não, sabe porquê? O enunciado fala que a pastilha de silício inicialmente é isenta de boro… Opa! Isso quer dizer que:

C o = 0

Tranquilo? Agora partiu continhas!

Passo 2

Substituindo apenas o lado esquerdo na equação, temos:

10 18   -   10 17 10 18   -   0 = e r f x 2 D t

Vamos ficar com:

0,90 = e r f x 2 D t

Agora a gente sabe quanto tem que dá essa função e r f , né? Então vamos ver na tabela que foi dada pra achar quem é o z … Lembrando que z é toda galera que fica dentro da função e r f . Vamos lá!

Nosso valor de 0,90 , está entre esses dois valores aí… Ops! Vamos precisar interpolar!

A gente pode montar assim, olha só:

z → e r f z

1,1 → 0,8802

z → 0,9000

1,2 → 0,9103

Interpolando vamos ter que:

z - 1,1 1,2 - 1,1 = 0,9000 - 0,8802 0,9103 - 0,8802

Teremos então:

z = 1,1658

Opa! Então isso quer dizer que:

x 2 D t = 1,1658

E substituindo os outros dados que temos:

x 2 4,0 ⋅ 10 - 13 ⋅ 25200 = 1,1658

Rearranjando, ficaremos com:

x = 1,1658 ⋅ 2,01 ⋅ 10 - 4

Nossa profundidade será:

x = 2,34 ⋅ 10 - 4   c m

ou

x = 2,34 ⋅ 10 - 6   m

Show de bola! Arrasamos!

Resposta

x = 2,34 ⋅ 10 - 6   m

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