Exercícios Resolvidos de Distribuição Uniforme

UFRJ, Probest, PF - 2018.2, Questão 1abcd

A partir de uma variável aleatória Equation uniformemente distribuída sobre o intervalo Equation , defina duas variáveis aleatórias Equation e Equation da seguinte maneira:

Equation

(a) Obtenha a função de probabilidade conjunta do par Equation .

(b) As variáveis aleatórias Equation e Equation são independentes? Justifique.

(c) Calcule Equation .

(d) Calcule Equation e Equation .

Passo 1

a)

Sabemos que:

Equation

Repara comigo, por exemplo, que nós também sabemos a probabilidade de Equation valer Equation , certo? Se Equation vale 1 quando Equation ...

Equation

E para calcular a probabilidade de Equation , basta usarmos sua função de densidade que é dada por Equation . Ou seja, precisamos simplesmente integrar o número Equation para calcular nossas probabilidades!

Agora para as conjuntas...

Quando que Equation e Equation ao mesmo tempo? Quando Equation for menor que Equation também! Pois se for maior, o nosso Equation zeraria. Usando esse mesmo raciocínio para as outras conjuntas...

Equation

Equation

Equation

E Equation nunca pode acontecer, pois se Equation necessariamente Equation também!

Então:

Equation

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b)

Para verificar a independência, temos que garantir que isso é sempre verdade:

Equation

E se formos testando para todos os casos, vemos que quando Equation e Equation , por exemplo, isso não é verdade, pois:

Equation

Equation

Então as v.a.’s não são independentes.

Passo 3

c)

Calculando as esperanças de Equation e Equation , que são v.a.’s de Bernoulli, e portanto tem sua esperança igual a probabilidade de assumirem valor Equation :

Equation

Equation

E a esperança conjunta:

Equation

Agora podemos calcular a covariância:

Equation

Passo 4

d)

Usando a fórmula da condicional:

Equation

Equation

Resposta

a)

Equation

Equation

Equation

Equation

b)

Não são independentes.

c)

Equation

d)

Equation

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