Exercícios Resolvidos de Energia do Átomo Hidrogenóide

Ver Teoria

Enunciado

Considere o átomo de hidrogênio composto por um elétron que transita do estado n = 3 para o estado n = 4 , emitindo um fóton.

a Encontre o comprimento de onda λ do fóton emitido, em n m .

b Dado que a transição acima ocorre num intervalo de tempo de Δ t = 10 - 9   s , encontre a incerteza de λ , em n m .

Passo 1

Letra a : Os níveis de energia de átomo de hidrogênio são obtidos da equação abaixo

E n =   - h c R H n 2

sendo R H a constante de Rydberg, cujo valor é R H = 1,1 × 10 7 m - 1

Sabemos que a energia do fóton emitido é igual a diferença de energia entre os níveis 3 e 4 , isto é,

E f ó t o n = E 3 - E 4  

Assim, temos que

E f ó t o n = - h c R H 3 2 - - h c R H 4 2

E f ó t o n = 5 h c R H 36 S a b e m o s   também que a energia do fóton pode ser escrita em termos do comprimento de onda da seguinte forma

E f ó t o n = h f = h c / λ L o g o ,   i s o l a n d o   λ e utilizando a expressão para a energia do fóton, temos que

λ = h c E f ó t o n = h c 5 h c R H 36 = 36 5 R H

Substituindo o valor da constante R H , temos que λ = 36 5 × 1,1 × 10 7 m - 1 ≅ 6,55 × 10 - 7 m = 655   n m

Passo 2

Letra b : O princípio de incerteza entre as medidas de energia do fóton e o intervalo de tempo que o mesmo é emitido é dado por

Δ E f ó t o n Δ t ≥ ℏ 2 = h 4 π

O enunciado diz que Δ t = 10 - 9   s > 0 . Logo, para satisfaz a desigualdade, devemos ter

Δ E f ó t o n > 0

Dito isso, sabemos que a energia do fóton pode ser escrita como E f ó t o n = h c λ . Assim, a incerteza associada a medida de energia do fóton é (o módulo é para garantir que Δ E f ó t o n é positivo) Δ E f ó t o n = ∂ E f ó t o n ∂ λ . Δ λ = - h c λ 2 Δ λ =   h c λ 2 | Δ λ |

Desta forma, o princípio de incerteza fica h c λ 2 Δ λ   Δ t   ≥ h 4 π A   m í n i m a   i n c e r t e z a   d e   λ ocorre quando tomamos a igualdade. Podemos tirar o módulo de Δ λ pois todas as quantidades da inequação são positivas. Logo, Δ λ m í n = λ 2 4 π c Δ t

Deste modo, substituindo os valores de Δ t ,   c e λ (obtido no item anterior), temos que Δ λ m í n = 655 × 10 - 9 m 2 4 π × 3 × 10 8 m / s × 10 - 9 s ≅ 1,14 × 10 - 13 m

Resposta

  1. λ = 655   n m
  2. Δ λ m í n = 1,14 × 10 - 13 m

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule os valores esperados da energia cinética T e da energia potencial V nos estado fundamental do átomo de hidrogênio, e verifique que satisfazem ao teorema do virial: V = - 2 T .
Uma partícula de 1 μg está se movendo a uma velocidade de aproximadamente 1 mm / s em uma caixa unidimensional que tem um comprimento igual a 1 cm. Calcule o valor aproximado do número quântico n do e